XML

Lineaarisen ryhmän matriisimuoto

Lineaarinen differentiaaliyhtälöryhmä on muotoa

\{\begin{matrix} x_{1}^{'} (t) & = a_{11} (t) x_{1} (t) + a_{12} (t) x_{2} (t) + \dots + a_{1 n} (t) x_{n} (t) + b_{1} (t), \\ x_{2}^{'} (t) & = a_{21} (t) x_{1} (t) + a_{22} (t) x_{2} (t) + \dots + a_{2 n} (t) x_{n} (t) + b_{2} (t), \\ ⋮ \\ x_{n}^{'} (t) & = a_{n 1} (t) x_{1} (t) + a_{n 2} (t) x_{2} (t) + \dots + a_{n n} (t) x_{n} (t) + b_{n} (t), \end{matrix}

eli

x_{j}^{'} (t) = \sum_{k = 1}^{n} a_{j k} (t) x_{k} (t) + b_{j} (t), j = 1, 2, \dots, n .

Funktiot $a_{j k} (t)$ ja $b_{j} (t)$ ovat tunnettuja, funktiot $x_{j} (t)$ ovat probleeman tuntemattomat.

Muodostamalla kerroinfunktioista ja tuntemattomista funktioista matriisit

A (t) = (\begin{matrix} a_{11} (t) & \dots & a_{1 n} (t) \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} (t) & \dots & a_{n n} (t) \end{matrix}), B (t) = (\begin{matrix} b_{1} (t) \\ ⋮ \\ b_{n} (t) \end{matrix}), X (t) = (\begin{matrix} x_{1} (t) \\ ⋮ \\ x_{n} (t) \end{matrix})

voidaan yhtälöryhmä kirjoittaa yksinkertaiseen matriisimuotoon

X^{'} (t) = A (t) X (t) + B (t) .

Tämä mahdollistaa matriisialgebran ja erityisesti ominaisarvoteorian käytön yhtälöryhmän ratkaisemisessa.

Esimerkiksi jos kyseessä on homogeeninen ryhmä, ts. $B (t) = 0$ , ja kertoimet $a_{i j} (t)$ ovat vakioita, jolloin $A (t) = A$ on vakiomatriisi, ryhmä saa muodon

X^{'} (t) = A X (t) .

Tämän ratkaisu on tapana kirjoittaa muotoon

X (t) = e^{t A} C,

missä $e^{t A}$ on eräs neliömatriisi ja $C$ on määräämättömien vakioiden muodostama pystyvektori. Ratkaisu on siten analoginen elementaarin differentiaaliyhtälön $y^{'} = a y$ ratkaisun $y = C e^{a t}$ kanssa. Edellytyksenä kuitenkin on, että matriisieksponenttifunktio $e^{t A}$ on ensin määritelty.

Matriisialgebran hyödyntämistä ei tässä lähemmin käsitellä.

Linkkejä

differentiaaliyhtälöryhmän normaalimuoto

Simo K. Kivelä 29.03.2001