XML

Toisen tai korkeamman kertaluvun yhtälön muuntaminen normaaliryhmäksi

1) Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

x^{2} y^{''} + 2 x y^{'} + {y^{'}}^{2} y^{2} = 0

vastaava normaaliryhmä muodostetaan seuraavasti: Otetaan käyttöön uusi tuntematon funktio $z = y^{'}$ ; tällöin $y^{''} = z^{'}$ . Differentiaaliyhtälö saa nyt muodon

x^{2} z^{'} + 2 x z + z^{2} y^{2} = 0 .

Normaaliryhmässä on kaksi tuntematonta funktiota, $y$ ja $z$ ; ryhmän yhtälöt esittävät näiden derivaatat funktioiden ja muuttujan $x$ avulla:

\{\begin{matrix} y^{'} & = z, \\ z^{'} & = - \frac{2 z}{x} - \frac{y^{2} z^{2}}{x^{2}} . \end{matrix}

2) Neljännen kertaluvun yhtälöä $y^{''''} + x y = 0$ vastaavaa normaaliryhmää muodostettaessa uusiksi tuntemattomiksi funktioiksi otetaan funktion $y$ derivaatat kolmanteen kertalukuun saakka: $u = y^{'}$ , $v = y^{''}$ , $w = y^{'''}$ . Tällöin $y^{'} = u$ , $u^{'} = y^{''} = v$ , $v^{'} = y^{'''} = w$ ja differentiaaliyhtälön mukaan $w^{'} = y^{''''} = - x y$ .

Normaaliryhmä on siten

\{\begin{matrix} y^{'} & = u, \\ u^{'} & = v, \\ v^{'} & = w, \\ w^{'} & = - x y . \end{matrix}

Ryhmä voidaan kirjoittaa vektorimuotoon merkitsemällä

Y = (\begin{matrix} y \\ u \\ v \\ w \end{matrix})

ja määrittelemällä vektoriarvoinen funktio $F$ yhtälöllä

F (x, Y) = (\begin{matrix} u \\ v \\ w \\ - x y \end{matrix}) .

Tällöin normaaliryhmä vastaa vektoriyhtälöä

Y^{'} = F (x, Y) .

Linkkejä

normaaliryhmä

Simo K. Kivelä 26.04.2001