XML

Yhtälön muuntaminen separoituvaksi sijoituksella $u = y ∕ x$

Differentiaaliyhtälössä

y^{'} = \frac{x + y}{x - y} eli y^{'} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}

oikea puoli on funktio osamäärästä $y ∕ x$ , jolloin se on muunnettavissa separoituvaksi sijoituksella $y (x) = x u (x)$ . Koska tällöin $y^{'} = u + x u^{'}$ , saa yhtälö muodon

x u^{'} = \frac{1 + u}{1 - u} - u eli x u^{'} = \frac{1 + u^{2}}{1 - u} .

Separoituna tämä on

\frac{1 - u}{1 + u^{2}} d u = \frac{1}{x} d x

ja puolittainen integrointi antaa

- ln \sqrt{1 + u^{2}} + arctan u = ln |x| + ln |C| .

Sijoittamalla $u = y ∕ x$ päädytään yhtälöön

arctan \frac{y}{x} = ln (|C| \sqrt{x^{2} + y^{2}}),

mikä siis on differentiaaliyhtälön ratkaisu implisiittisessä muodossa. Kyseessä on transkendenttiyhtälö, josta ei voida ratkaista lauseketta funktiolle $y (x)$ , vaikka yhtälö sopivasti rajoitetuilla väleillä funktion määritteleekin.

Yhtälön ratkaisukäyriä voidaan tutkia siirtymällä napakoordinaatteihin, so. sijoittamalla yhtälöön $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ , $ϕ = arctan \frac{y}{x}$ :

ϕ = ln (|C| r) eli r = C_{1} e^{ϕ}, missä C_{1} = 1 ∕ |C| > 0 .

Kyseessä ovat positiiviseen suuntaan auki kiertyvät spiraalit. Sopivasti katkaistut spiraalinkaaret ovat yhtälön ratkaisufunktioiden kuvaajia:

Linkkejä

separoituva yhtälö
separoituvaan palautuva yhtälö

Simo K. Kivelä 26.04.2001

Yhtälön muuntaminen separoituvaksi sijoituksella u = y∕x

Yhtälön muuntaminen separoituvaksi sijoituksella $u = y ∕ x$