XML

Toisen kertaluvun yhtälön muuntaminen normaaliryhmäksi ja ratkaiseminen separoimalla

Autonomista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä $y y^{''} = {y^{'}}^{2} + y y^{'}$ vastaava normaaliryhmä on

\{\begin{matrix} y^{'} & = \frac{d y}{d x} = z, \\ z^{'} & = \frac{d z}{d x} = \frac{z^{2} + y z}{y} . \end{matrix}

Jos yhtälöt jaetaan puolittain ja differentiaaliosamäärämerkinnöistä supistetaan $d x$ pois, päädytään yhtälöön

\frac{d z}{d y} = \frac{z^{2} + y z}{y z},

joka riippuu vain muuttujista $y$ ja $z$ . Sitä voidaan siis pitää differentiaaliyhtälönä, joka määrää näiden välisen riippuvuuden.

Sijoituksella $u (y) = z (y) ∕ y$ yhtälö voidaan palauttaa separoituvaksi. Koska $z = u y$ , on $\frac{d z}{d y} = y \frac{d u}{d y} + u$ . Tällöin yhtälö saa muodon

y \frac{d u}{d y} + u = u + 1 eli d u = \frac{d y}{y} .

Integroimalla puolittain saadaan $u = ln |C_{1} y|$ , jolloin integroimisvakio on kirjoitettu muotoon $ln |C_{1}|$ . (Miksi näin voidaan tehdä rajoittamatta vakion arvoja?) Koska $u = z ∕ y$ , saadaan muuttujien $y$ ja $z$ väliseksi riippuvuudeksi $z = y ln |C_{1} y|$ . Kyseessä on normaaliryhmän ratkaisujen faasitasoesitysten yhtälö.

Normaaliryhmän ensimmäisen yhtälön mukaan on nyt

y^{'} = \frac{d y}{d x} = y ln |C_{1} y|,

mikä on jälleen separoituva yhtälö. Separoimalla saadaan

d x = \frac{d y}{y ln |C_{1} y|}

ja puolittain integroimalla

x + C_{2} = ln |ln |C_{1} y|| .

Ratkaisemalla $y$ :n suhteen ja sieventämällä saadaan alkuperäisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu

y = D_{1} e^{D_{2} e^{x}},

missä on otettu käyttöön uudet vakiot $D_{1} = 1 ∕ C_{1}$ ja $D_{2} = \pm e^{C_{2}}$ .

Linkkejä

palauttaminen ensimmäiseen kertalukuun
separoituva yhtälö
separoituvaan palautuva ensimmäisen kertaluvun yhtälö
normaaliryhmä
autonominen yhtälö
faasitaso

Simo K. Kivelä 26.04.2001