XML

Kolmannen kertaluvun yhtälön palauttaminen ensimmäiseen kertalukuun ja ratkaiseminen separoimalla

Kolmannen kertaluvun autonomista yhtälöä $y^{'''} (1 + {y^{'}}^{2}) = 3 y^{'} {y^{''}}^{2}$ vastaa normaaliryhmä

\{\begin{matrix} y^{'} & = \frac{d y}{d x} = u, \\ u^{'} & = \frac{d u}{d x} = v, \\ v^{'} & = \frac{d v}{d x} = \frac{3 u v^{2}}{1 + u^{2}} . \end{matrix}

Kun kolmas yhtälö puolittain jaetaan toisella, saadaan vain muuttujista $u$ ja $v$ riippuva ensimmäisen kertaluvun yhtälö:

\frac{d v}{d u} = \frac{3 u v}{1 + u^{2}} .

Tämä on separoituva ja sen ratkaisu voidaan saattaa muotoon

v = C_{1} {(1 + u^{2})}^{3 ∕ 2} .

Kyseessä on differentiaaliyhtälön ensimmäinen integraali.

Normaaliryhmän toisen yhtälön mukaan on

\frac{d u}{d x} = C_{1} {(1 + u^{2})}^{3 ∕ 2},

mikä jälleen on separoituva yhtälö. Separointi ja puolittainen integrointi antavat

C_{1} x + C_{2} = \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}},

jolloin

u^{2} = \frac{{(C_{1} x + C_{2})}^{2}}{1 - {(C_{1} x + C_{2})}^{2}} .

On saatu differentiaaliyhtälön toinen integraali.

Normaaliryhmän ensimmäinen yhtälö antaa nyt

\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1} x + C_{2}}{\sqrt{1 - {(C_{1} x + C_{2})}^{2}}},

joten ratkaisu saadaan yhdellä integroinnilla:

y = - \frac{\sqrt{1 - {(C_{1} x + C_{2})}^{2}}}{C_{1}} - \frac{C_{3}}{C_{1}} .

Integroimisvakio on kirjoitettu muotoon $- C_{3} ∕ C_{1}$ , mikä saa kaikki reaaliarvot $C_{3}$ :n arvon vaihdellessa, ts. valinta ei rajoita vakion arvoja. Tulos voidaan kirjoittaa symmetriseen muotoon

{(C_{1} x + C_{2})}^{2} + {(C_{1} y + C_{3})}^{2} = 1 .

Tätä voidaan kutsua differentiaaliyhtälön kolmanneksi integraaliksi.

Jakamalla yhtälö luvulla $C_{1}^{2}$ ja merkitsemällä $D_{1} = C_{2} ∕ C_{1}$ , $D_{2} = C_{3} ∕ C_{1}$ , $D_{3} = 1 ∕ C_{1}$ päädytään muotoon

{(x + D_{1})}^{2} + {(y + D_{2})}^{2} = D_{3}^{2} .

Tämä osoittaa, että kyseessä on tason kaikkien ympyröiden muodostama käyräparvi ja alkuperäinen differentiaaliyhtälö on siis tämän käyräparven differentiaaliyhtälö.

Lukija pohtikoon, mitä tapahtuu, jos $C_{1} = 0$ . Millaisia ratkaisuja tämä antaa yhtälölle?

Linkkejä

palauttaminen ensimmäiseen kertalukuun
separoituva yhtälö
normaaliryhmä
käyräparvi ja differentiaaliyhtälö
käyräparven differentiaaliyhtälön etsiminen (mma-versio)
käyräparven differentiaaliyhtälön etsiminen (mpl-versio)

Simo K. Kivelä 26.04.2001