XML

Yhtälön muuntaminen sijoittamalla sopiva funktio

Differentiaaliyhtälö

e^{y} y^{'} = x + e^{y} - 1

muuttuu yksinkertaisemmaksi, kun uudeksi tuntemattomaksi funktioksi otetaan $u (x) = x + e^{y (x)}$ . Tällöin $u^{'} = 1 + e^{y} y^{'}$ , jolloin yhtälö saa yksinkertaisen muodon

u^{'} = u .

Tämän ratkaisuna on

u (x) = C e^{x},

kuten nähdään esimerkiksi separoimalla yhtälö.

Alkuperäiselle tuntemattomalla funktiolle saadaan tällöin lauseke

y (x) = ln (u (x) - x) = ln (C e^{x} - x) .

Lukija tutkikoon, millä (vakiosta $C$ riippuvilla) muuttujan $x$ arvoilla tämä on määritelty.

Linkkejä

separoituva yhtälö
separoituvaan palautuva yhtälö

Simo K. Kivelä 26.04.2001