XML

Separoituva yhtälö

Koska differentiaaliyhtälö $y^{'} = x y$ voidaan kirjoittaa muotoon

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x,

se on separoituva, ja ratkaisu saadaan muodossa

\int \frac{1}{y} d y = \int x d x + C .

Integroinnit antavat

ln |y| = \frac{x^{2}}{2} + C,

jolloin

y = \pm e^{C} e^{x^{2} ∕ 2} = C_{1} e^{x^{2} ∕ 2},

missä on merkitty $C_{1} = \pm e^{C}$ .

Tähän muotoon päästään suoraankin kirjoittamalla integroinnissa vakio muotoon $ln |C|$ :

\begin{array}{l} \int \frac{1}{y} d y = \int x d x + ln |C|, \\ ln |y| = x^{2} ∕ 2 + ln |C|, \\ |y| = |C| e^{x^{2} ∕ 2}, \\ y = C e^{x^{2} ∕ 2} . \end{array}

Vakion kirjoittaminen tähän muotoon ei rajoita sen mahdollisia arvoja, sillä $ln |C|$ saa kaikki positiiviset ja negatiivset arvot, kun $C \neq 0$ .

Jos $C = 0$ , saadaan yksittäisratkaisuksi $y (x) = 0$ . Tämä on alkuperäisen yhtälön ratkaisu, mutta ei separoituun muotoon kirjoitetun yhtälön ratkaisu nimittäjän nollaksi tulemisen takia. Tämän johdosta arvo $C = 0$ on erikoistapaus ratkaisuprosessin kannalta.

Linkkejä

separoituva yhtälö

Simo K. Kivelä 26.04.2001