XML

Sarjayrite ja rekursiokaavan johto

Olkoon tarkasteltavana toisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyhtälö $y^{''} + x y = 0$ (Airyn yhtälö, missä muuttujan $x$ merkki on vaihdettu, ts. x-akselin suunta on käännetty).

Tämän sarjaratkaisu kehityskeskuksena origo saadaan yritteen

y = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k}

avulla. Sijoittaminen yhtälöön antaa

\sum_{k = 2}^{\infty} k (k - 1) a_{k} x^{k - 2} + \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k + 1} = 0

eli

2 a_{2} + 6 a_{3} x + 12 a_{4} x^{2} + 20 a_{5} x^{3} + 30 a_{6} x^{4} + 42 a_{7} x^{5} + \dots + a_{0} x + a_{1} x^{2} + a_{2} x^{3} + a_{3} x^{4} + a_{4} x^{5} + \dots = 0 .

Koska oikea puoli on $= 0$ , tulee myös vasemmalla olla jokaisen $x$ :n potenssin kertoimen $= 0$ , mikä johtaa yhtälöryhmään

\{\begin{matrix} 2 a_{2} & = 0, \\ 6 a_{3} + a_{0} & = 0, \\ 12 a_{4} + a_{1} & = 0, \\ 20 a_{5} + a_{2} & = 0, \\ 30 a_{6} + a_{3} & = 0, \\ 42 a_{7} + a_{4} & = 0, \\ \dots \end{matrix}

Yhtälöryhmän ratkaisussa voidaan ilmeisesti $a_{0}$ ja $a_{1}$ valita vapaasti ja välttämättä on $a_{2} = 0$ . Kertoimesta $a_{3}$ alkaen kukin kerroin lasketaan aina kolmanneksi edellisen kertoimen avulla, ts. kertoimet $a_{5}$ , $a_{8}$ , $a_{11}$ jne. ovat $= 0$ , kertoimet $a_{3}$ , $a_{6}$ , $a_{9}$ jne. määräytyvät kertoimen $a_{0}$ avulla ja vastaavasti kerroin $a_{1}$ määrää kertoimet $a_{4}$ , $a_{7}$ , $a_{10}$ jne.

Kuvatunkaltaiselle kertoimien rekursiiviselle laskemiselle voidaan myös johtaa yleinen kaava. Kun yhtälön

\sum_{k = 2}^{\infty} k (k - 1) a_{k} x^{k - 2} + \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k + 1} = 0

edellisessä summassa indeksit numeroidaan uudelleen merkitsemällä $j = k - 2$ ja jälkimmäisessä summassa merkitsemällä $j = k + 1$ , saadaan

\sum_{j = 0}^{\infty} (j + 2) (j + 1) a_{j + 2} x^{j} + \sum_{j = 1}^{\infty} a_{j - 1} x^{j} = 0

eli

2 a_{2} + \sum_{j = 1}^{\infty} [(j + 2) (j + 1) a_{j + 2} + a_{j - 1}] x^{j} = 0 .

Koska kaikkien potenssien $x^{j}$ kertoimien pitää olla $= 0$ , on siis oltava

a_{2} = 0, a_{j + 2} = - \frac{a_{j - 1}}{(j + 2) (j + 1)}, j = 1, 2, 3, \dots .

Ratkaisuun jää kaksi määräämätöntä vakiota, $a_{0}$ ja $a_{1}$ . Nämä ovat toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön yleisessä ratkaisussa esiintyvät kaksi integroimisvakiota. Kun muut kertoimet rekursiota käyttäen lasketaan näiden avulla, saadaan

\begin{array}{l} y = & a_{0} (1 - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{6}}{180} - \frac{x^{9}}{12960} + \frac{x^{12}}{1710720} - \frac{x^{15}}{359251200} + \frac{x^{18}}{109930867200} + \dots) \\ + & a_{1} (x - \frac{x^{4}}{12} + \frac{x^{7}}{504} - \frac{x^{10}}{45360} + \frac{x^{13}}{7076160} - \frac{x^{16}}{1698278400} + \frac{x^{19}}{580811212800} + \dots) . \end{array}

Kyseessä on toisen kertaluvun lineaarisen ja homogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu kahden perusratkaisun lineaariyhdistelynä, kuten teorian mukaan pitääkin.

Koska rekursiokaavan mukaan on

|\frac{a_{j + 2}}{a_{j - 1}}| = \frac{1}{(j + 2) (j + 1)}

ja tämän raja-arvo on $= 0$ , kun $j \to \infty$ , sarjaratkaisu suppenee kaikilla muuttujan $x$ arvoilla potenssisarjojen teorian yleisten lauseiden mukaisesti. Tämä ei kuitenkaan merkitse, että sarjoja voitaisiin käyttää ratkaisufunktioiden numeeristen arvojen laskemiseen: argumentista $x$ riippuen sarjojen suppeneminen saattaa olla hidasta ja laskenta erittäin altista pyöristysvirheille.

Linkkejä

sarjayritteen käyttö
homogeenisen lineaarisen yhtälön ratkaisujoukko
sarjaratkaisu symbolisella ohjelmalla (mma-versio)
sarjaratkaisu symbolisella ohjelmalla (mpl-versio)
Airyn differentiaaliyhtälö (mma-versio)
Airyn differentiaaliyhtälö (mpl-versio)
Airyn differentiaaliyhtälön numeerinen ratkaiseminen (mma-versio)
Airyn differentiaaliyhtälön numeerinen ratkaiseminen (mpl-versio)

Simo K. Kivelä 26.04.2001