Normaaliryhmä

Kertalukua n oleva differentiaaliyhtälö

y(n) = f(x,y,y′,…,y(n−1))

voidaan kirjoittaa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmäksi, ns. normaaliryhmäksi, jossa on n tuntematonta funktiota ja n yhtälöä. Etuna on, että tällöin kyseessä on ensimmäisen kertaluvun yhtälöt, mutta haittana, että näitä on useita.

Uusiksi tuntemattomiksi funktioiksi otetaan funktion y lisäksi sen derivaatat kertalukuun n − 1 saakka:

y0 = y,y1 = y′,y 2 = y′′,…y n−2 = y(n−2),y n−1 = y(n−1).

Tällöin on

y0′ = y1, y1′ = y2, y2′ = y3, ⋮ yn−2′ = yn−1, yn−1′ = f(x,y0,y1,…,yn−1),

missä viimeinen yhtälö on itse asiassa alkuperäinen differentiaaliyhtälö. Kyseessä on alkuperäistä differentiaaliyhtälöä vastaava normaaliryhmä.

Saatu normaaliryhmä voidaan kirjoittaa tiiviimpään vektorimuotoon kokoamalla tuntemattomat funktiot n-komponenttiseksi vektoriksi Y ja määrittelemällä funktio F, jonka arvot ovat n-komponenttisia vektoreita:

Y = y0 y1 ⋮ yn−1 ,F(x,Y ) = y1 y2 ⋮ yn−1 f(x,y0,y1,…,yn−1) .

Normaaliryhmä voidaan tällöin kirjoittaa lyhyesti vektorimuotoon

Y ′ = F(x,Y ),

missä derivaatta Y ′ lasketaan komponenteittain. Ryhmä on tällöin muodoltaan samanlainen kuin tavallinen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Erona on, että funktio F onkin vektoriarvoinen ja tuntematon funktio Y on myös vektori.

Vektorimuodon käyttökelpoisuus perustuu siihen, että monet ensimmäisen kertaluvun yhtälöä koskevat algoritmit voidaan yleistää korkeampia kertalukuja koskeviksi, kun niitä sovelletaan vektorimuotoon.

Linkkejä

normaaliryhmän muodostaminen, esimerkki
ratkaisun olemassaolo
faasitaso
faasiavaruus
numeerisen ratkaisemisen periaate
laskuvarjohyppy (mma-versio)
planeetan liike Auringon ympäri (mma-versio)
laskuvarjohyppy (mpl-versio)
planeetan liike Auringon ympäri (mpl-versio)

Simo K. Kivelä 27.03.2001