lagrange.nb

Lagrangen liikeyhtälöt kaksoisheilurille

Kaksoisheilurin liikeyhtälöt voidaan helpoimmin johtaa Lagrangen teorian avulla. Tällöin systeemin tila ilmaistaan ensin yleisten koordinaattien avulla, minkä jälkeen systeemin kineettinen energia ja potentiaalienergia esitetään yleisten koordinaattien funktioina. Näiden erotus on Lagrangen funktio $L$. Liikeyhtälöt saadaan tämän jälkeen mekaanisilla derivoinneilla muodossa

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \stackrel{\blacksquare }{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0,$

missä $q$ tarkoittaa jokaista yleistettyä koordinaattia vuorollaan ja $\stackrel{\blacksquare }{q}$ sen aikaderivaattaa.

Puhdistetaan työtila tarkastelun aluksi.

$\mathrm{Remove}\left[''Global`*''\right]$

Kaksoisheilurin tapauksessa yleistetyt koordinaatit ovat ${\theta }_1$ ja ${\theta }_2$, jotka riittävät määrittämään heilurin aseman. Kumpikin on ajan funktio. Heilurien suorakulmaiset koordinaatit myös ajan funktioina ovat tällöin

In[1]:=

$x_1\left[\text{t\_}\right]=L\mathrm{Sin}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right];$

$y_1\left[\text{t\_}\right]=-L\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right];$

In[3]:=

$x_2\left[\text{t\_}\right]=L\mathrm{Sin}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right]+L\mathrm{Sin}\left[{\theta }_2\left[t\right]\right];$

$y_2\left[\text{t\_}\right]=-L\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right]-L\mathrm{Cos}\left[{\theta }_2\left[t\right]\right];$

Näiden avulla voidaan muodostaa lausekkeet koko systeemin kineettiselle energialle ja potentiaalienergialle:

In[5]:=

$T\left[\text{t\_}\right]=\frac{1}{2}{m}_1\left({x_1^{\prime }\left[t\right]}^2+{y_1^{\prime }\left[t\right]}^2\right)+\frac{1}{2}{m}_2\left({x_2^{\prime }\left[t\right]}^2+{y_2^{\prime }\left[t\right]}^2\right)//\mathrm{Simplify}$

Out[5]=

$\frac{1}{2}{L}^2\left(m_1{{{\theta }_1}^{\prime }\left[t\right]}^2+m_2\left({{{\theta }_1}^{\prime }\left[t\right]}^2+2\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]-{\theta }_2\left[t\right]\right]{{\theta }_1}^{\prime }\left[t\right]{{\theta }_2}^{\prime }\left[t\right]+{{{\theta }_2}^{\prime }\left[t\right]}^2\right)\right)$

In[6]:=

$V\left[\text{t\_}\right]=m_{1}g{y}_1\left[t\right]+m_{2}g{y}_2\left[t\right]//\mathrm{Simplify}$

Out[6]=

$-gL\left(\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right]m_1+\left(\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right]+\mathrm{Cos}\left[{\theta }_2\left[t\right]\right]\right)m_2\right)$

Systeemin Lagrangen funktio on näiden erotus:

In[7]:=

$L\left[\text{t\_}\right]=T\left[t\right]-V\left[t\right]//\mathrm{Simplify}$

Out[7]=

$gL\left(\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right]m_1+\left(\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right]+\mathrm{Cos}\left[{\theta }_2\left[t\right]\right]\right)m_2\right)+\frac{1}{2}{L}^2\left(m_1{{{\theta }_1}^{\prime }\left[t\right]}^2+m_2\left({{{\theta }_1}^{\prime }\left[t\right]}^2+2\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]-{\theta }_2\left[t\right]\right]{{\theta }_1}^{\prime }\left[t\right]{{\theta }_2}^{\prime }\left[t\right]+{{{\theta }_2}^{\prime }\left[t\right]}^2\right)\right)$

Liikeyhtälöt saadaan tämän jälkeen mekaanisella derivoinnilla, jolloin kumpikin yleistetty koordinaatti on käsiteltävä erikseen:

In[8]:=

$\mathrm{yht1}=D\left[D\left[L\left[t\right],{\theta }_1^{\prime }\left[t\right]\right],t\right]-D\left[L\left[t\right],{\theta }_1\left[t\right]\right]==0//\mathrm{Simplify}$

Out[8]=

$L\left(m_1\left(g\mathrm{Sin}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right]+L{{\theta }_1}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\right)+m_2\left(g\mathrm{Sin}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right]+L\mathrm{Sin}\left[{\theta }_1\left[t\right]-{\theta }_2\left[t\right]\right]{{{\theta }_2}^{\prime }\left[t\right]}^2+L{{\theta }_1}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+L\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]-{\theta }_2\left[t\right]\right]{{\theta }_2}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\right)\right)⩵0$

In[9]:=

$\mathrm{yht2}=D\left[D\left[L\left[t\right],{\theta }_2^{\prime }\left[t\right]\right],t\right]-D\left[L\left[t\right],{\theta }_2\left[t\right]\right]==0//\mathrm{Simplify}$

Out[9]=

$L{m}_2\left(g\mathrm{Sin}\left[{\theta }_2\left[t\right]\right]-L\mathrm{Sin}\left[{\theta }_1\left[t\right]-{\theta }_2\left[t\right]\right]{{{\theta }_1}^{\prime }\left[t\right]}^2+L\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]-{\theta }_2\left[t\right]\right]{{\theta }_1}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+L{{\theta }_2}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\right)⩵0$

Yhtälöitä voi hieman yksinkertaistaa termien sopivalla ryhmittelyllä derivaattojen mukaan. Seuraavat komennot ovat samalla esimerkkejä Mathematican hieman hankalasta syntaksista.

In[10]:=

$\left(\mathrm{Expand}\left[\mathrm{Collect}\left[\text{\#},\left\{{\theta }_1\text{''}\left[t\right],{\theta }_2\text{''}\left[t\right],{\theta }_1\text{'}\left[t\right],{\theta }_2\text{'}\left[t\right]\right\}\right]/L^2\right]\&\right)/@\mathrm{yht1}$

Out[10]=

$\frac{g\mathrm{Sin}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right]m_1}{L}+\frac{g\mathrm{Sin}\left[{\theta }_1\left[t\right]\right]m_2}{L}+\mathrm{Sin}\left[{\theta }_1\left[t\right]-{\theta }_2\left[t\right]\right]m_2{{{\theta }_2}^{\prime }\left[t\right]}^2+m_1{{\theta }_1}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+m_2{{\theta }_1}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]-{\theta }_2\left[t\right]\right]m_2{{\theta }_2}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]⩵0$

In[11]:=

$\left(\mathrm{Expand}\left[\mathrm{Collect}\left[\text{\#},\left\{{\theta }_1\text{''}\left[t\right],{\theta }_2\text{''}\left[t\right],{\theta }_1\text{'}\left[t\right],{\theta }_2\text{'}\left[t\right]\right\}\right]/L^2\right]\&\right)/@\mathrm{yht2}$

Out[11]=

$\frac{g\mathrm{Sin}\left[{\theta }_2\left[t\right]\right]m_2}{L}-\mathrm{Sin}\left[{\theta }_1\left[t\right]-{\theta }_2\left[t\right]\right]m_2{{{\theta }_1}^{\prime }\left[t\right]}^2+\mathrm{Cos}\left[{\theta }_1\left[t\right]-{\theta }_2\left[t\right]\right]m_2{{\theta }_1}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+m_2{{\theta }_2}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]⩵0$

Tehtävä

Vertaa saatuja liikeyhtälöitä kaksoisheiluriesimerkin lähtökohtana oleviin ja totea ne samoiksi.

Linkkejä

kaksoisheiluri

SKK 04.05.2001

Created by Mathematica  (July 21, 2004)