lineus.nb

Eulerin yhtälön muuntaminen vakiokertoimiseksi

Mathematicaa voidaan käyttää yleisen Eulerin yhtälön muuntamiseen vakiokertoimiseksi yhtälöksi sijoituksella $x=e^t$. Seuraava esitys toimii periaatteessa mille tahansa kertaluvulle $n$. Jos $n>20$, alkaa laskenta kuitenkin vaatia varsin paljon resursseja.

Syötetään Eulerin yhtälön kertaluku ja muodostetaan yhtälö:

In[1]:=

$n=5$

Out[1]=

$5$

In[2]:=

$\mathrm{euleryht}=\mathrm{Sum}\left[a_{k}x^kD\left[y\left[x\right],\left\{x,k\right\}\right],\left\{k,0,n\right\}\right]==0$

Out[2]=

$a_{0}y\left[x\right]+x{a}_1{y}^{\prime }\left[x\right]+x^2{a}_2{y}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[x\right]+x^3{a}_3{y}^{\left(3\right)}\left[x\right]+x^4{a}_4{y}^{\left(4\right)}\left[x\right]+x^5{a}_5{y}^{\left(5\right)}\left[x\right]⩵0$

Sijoituksen seurauksena syntyy uusi tuntematon funktio $u\left(t\right)=y\left(e^t\right)$. Funktiot $y$ ja $u$ toisiinsa sitova yhtälö talletetaan nimelle sijyhtalo:

In[3]:=

$\mathrm{sijyhtalo}=u\left[t\right]==y\left[\mathrm{Exp}\left[t\right]\right]$

Out[3]=

$u\left[t\right]⩵y\left[e^t\right]$

Tätä yhtälöä derivoidaan muuttujan $t$ suhteen $n$ kertaa, jotta saadaan vastaavat derivaattojen väliset yhtälöt; nämä kerätään listaksi:

In[4]:=

$\mathrm{yhtalot}=\mathrm{Table}\left[D\left[\mathrm{sijyhtalo},\left\{t,k\right\}\right],\left\{k,0,n\right\}\right];$

$\mathrm{yhtalot}//\mathrm{TableForm}$

Out[5]//TableForm=

Tuntemattomat, ts. funktion $y$ derivaatat kerätään omaksi listakseen, jossa muuttujaksi otetaan $t$:

In[6]:=

$\mathrm{tuntemattomat}=\mathrm{Table}\left[D\left[y\left[x\right],\left\{x,k\right\}\right],\left\{k,0,n\right\}\right]/.x->\mathrm{Exp}\left[t\right]$

Out[6]=

$\left\{y\left[e^t\right],y^{\prime }\left[e^t\right],y^{\mathrm{\prime \prime }}\left[e^t\right],y^{\left(3\right)}\left[e^t\right],y^{\left(4\right)}\left[e^t\right],y^{\left(5\right)}\left[e^t\right]\right\}$

Jotta alkuperäinen differentiaaliyhtälö saadaan muunnetuksi funktiota $u$ koskevaksi, yhtälöryhmästä ratkaistaan funktion $y$ derivaatat ja sijoitetaan nämä differentiaaliyhtälöön; muuttujaksi otetaan $t$:

In[7]:=

$\mathrm{sij}=\mathrm{Solve}\left[\mathrm{yhtalot},\mathrm{tuntemattomat}\right]$

Out[7]=

$\left\{\left\{y^{\left(5\right)}\left[e^t\right]\to e^{-5t}\left(24u^{\prime }\left[t\right]-50u^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+35u^{\left(3\right)}\left[t\right]-10u^{\left(4\right)}\left[t\right]+u^{\left(5\right)}\left[t\right]\right),y\left[e^t\right]\to u\left[t\right],y^{\left(4\right)}\left[e^t\right]\to -e^{-4t}\left(6u^{\prime }\left[t\right]-11u^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+6u^{\left(3\right)}\left[t\right]-u^{\left(4\right)}\left[t\right]\right),y^{\left(3\right)}\left[e^t\right]\to e^{-3t}\left(2u^{\prime }\left[t\right]-3u^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+u^{\left(3\right)}\left[t\right]\right),y^{\mathrm{\prime \prime }}\left[e^t\right]\to -e^{-2t}\left(u^{\prime }\left[t\right]-u^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\right),y^{\prime }\left[e^t\right]\to e^{-t}{u}^{\prime }\left[t\right]\right\}\right\}$

In[8]:=

$\mathrm{vakiokertyht}=\mathrm{euleryht}/.x->\mathrm{Exp}\left[t\right]/.\mathrm{First}\left[\mathrm{sij}\right]$

Out[8]=

$a_{0}u\left[t\right]+a_1{u}^{\prime }\left[t\right]-a_2\left(u^{\prime }\left[t\right]-u^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\right)+a_3\left(2u^{\prime }\left[t\right]-3u^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+u^{\left(3\right)}\left[t\right]\right)-a_4\left(6u^{\prime }\left[t\right]-11u^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+6u^{\left(3\right)}\left[t\right]-u^{\left(4\right)}\left[t\right]\right)+a_5\left(24u^{\prime }\left[t\right]-50u^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+35u^{\left(3\right)}\left[t\right]-10u^{\left(4\right)}\left[t\right]+u^{\left(5\right)}\left[t\right]\right)⩵0$

Tällöin on saatu Eulerin yhtälöä vastaava vakiokertoiminen yhtälö. Jotta tämä hahmottuisi selkeämmin, termit kootaan funktion $u$ derivaattojen mukaan ryhmiteltyinä:

In[9]:=

$\mathrm{derivaatat}=\mathrm{Table}\left[D\left[u\left[t\right],\left\{t,k\right\}\right],\left\{k,0,n\right\}\right]$

Out[9]=

$\left\{u\left[t\right],u^{\prime }\left[t\right],u^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right],u^{\left(3\right)}\left[t\right],u^{\left(4\right)}\left[t\right],u^{\left(5\right)}\left[t\right]\right\}$

In[10]:=

$\mathrm{ryhmitettyvakiokertyht}=\mathrm{Collect}\left[\mathrm{vakiokertyht}\left[\left[1\right]\right],\mathrm{derivaatat}\right]==0$

Out[10]=

$a_{0}u\left[t\right]+\left(a_1-a_2+2a_3-6a_4+24a_5\right)u^{\prime }\left[t\right]+\left(a_2-3a_3+11a_4-50a_5\right)u^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+\left(a_3-6a_4+35a_5\right)u^{\left(3\right)}\left[t\right]+\left(a_4-10a_5\right)u^{\left(4\right)}\left[t\right]+a_5{u}^{\left(5\right)}\left[t\right]⩵0$

Collect-funktiota ei voida kohdistaa suoraan yhtälöön, vaan ainoastaan sen vasempaan puoleen vakiokertyht[[1]], mikä tuo syötteisiin ylimääräistä monimutkaisuutta. Toisaalta kaikki syötteet voidaan pakata myös yhdelle riville ja muutoinkin hyödyntää Mathematican ohjelmointikielen piirteitä:

In[11]:=

$\mathrm{Function}\left[x,\mathrm{Collect}\left[x,\mathrm{Table}\left[D\left[u\left[t\right],\left\{t,k\right\}\right],\left\{k,0,n\right\}\right]\right]\right]/@\mathrm{vakiokertyht}$

Out[11]=

$a_{0}u\left[t\right]+\left(a_1-a_2+2a_3-6a_4+24a_5\right)u^{\prime }\left[t\right]+\left(a_2-3a_3+11a_4-50a_5\right)u^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]+\left(a_3-6a_4+35a_5\right)u^{\left(3\right)}\left[t\right]+\left(a_4-10a_5\right)u^{\left(4\right)}\left[t\right]+a_5{u}^{\left(5\right)}\left[t\right]⩵0$

Saadun yhtälön vasemmasta puolesta voidaan myös poimia eri derivaattojen kertoimet ja esittää nämä taulukkona:

In[12]:=

$\mathrm{Table}\left[\mathrm{Coefficient}\left[\mathrm{ryhmitettyvakiokertyht}\left[\left[1\right]\right],D\left[u\left[t\right],\left\{t,k\right\}\right]\right],\left\{k,0,n\right\}\right]//\mathrm{TableForm}$

Out[12]//TableForm=

Kertoimet ovat todellakin vakioita.

Linkkejä

Eulerin yhtälön muuntaminen vakiokertoimiseksi ja ratkaiseminen
yhtälön muuntaminen sijoituksella

SKK 30.04.2001

Created by Mathematica  (July 26, 2004)