linysj.nb

Vakiokertoimisen lineaariyhtälön karakteristisen yhtälön useampikertaiset juuret

Kiinnitetään aluksi kolme vakiota.

Tarkastelun kohteena olkoon kertalukua n oleva vakiokertoiminen homogeeninen differentiaaliyhtälö:

In[1]:=

$n=3$

Out[1]=

$3$

Tämän karakteristinen polynomi on myös astetta n. Polynomilla olkoon nollakohta r, jonka kertaluku on p (≤ n):

In[2]:=

$p=2$

Out[2]=

$2$

Tarkoituksena on tutkia, onko y = $x^k$ $e^{rx}$ yhtälön ratkaisu, kun k = 0,1,2,... ,q  (luontevimmin  q ≥ p ):

In[3]:=

$q=3$

Out[3]=

$3$

Vakiokertoimisten yhtälöiden teorian mukaan näin pitäisi olla arvoon k = p-1 saakka.

Differentiaaliyhtälö on

In[4]:=

$\mathrm{diffyht}=\mathrm{Sum}\left[a_{k}D\left[y\left[x\right],\left\{x,k\right\}\right],\left\{k,0,n\right\}\right]==0$

Out[4]=

$a_{0}y\left[x\right]+a_1{y}^{\prime }\left[x\right]+a_2{y}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[x\right]+a_3{y}^{\left(3\right)}\left[x\right]⩵0$

Karakteristinen yhtälö saadaan sijoittamalla yhtälöön yrite y = $e^{rx}$ ja jakamalla sijoittamisen jälkeen eksponenttitekijä pois. Samaan tulokseen päästään korvaamalla differentiaaliyhtälössä derivaatat vastaavilla muuttujan r potensseilla:

In[5]:=

$\mathrm{karaktyht}=\mathrm{diffyht}/.\mathrm{Table}\left[D\left[y\left[x\right],\left\{x,k\right\}\right]->r^k,\left\{k,0,n\right\}\right]$

Out[5]=

$a_0+r{a}_1+r^2{a}_2+r^3{a}_3⩵0$

Luku r on tämän p-kertainen juuri, jos ja vain jos se on myös karakteristisen polynomin derivaattojen nollakohta kertalukuun p-1 saakka. Kertaluku p voidaan siten karakterisoida seuraavilla ehdoilla:

In[6]:=

$\mathrm{ehdot}=\mathrm{Table}\left[D\left[\mathrm{karaktyht},\left\{r,k\right\}\right],\left\{k,0,p-1\right\}\right]$

Out[6]=

$\left\{a_0+r{a}_1+r^2{a}_2+r^3{a}_3⩵0,a_1+2r{a}_2+3r^2{a}_3⩵0\right\}$

Sijoitetaan ratkaisut y = $x^k$ $e^{rx}$ (0≤k≤q) differentiaaliyhtälöön ja tutkitaan, toteutuuko tämä, kun r täyttää edellä asetetut ehdot:

In[7]:=

$\mathrm{sij}=\mathrm{Table}\left[\mathrm{diffyht}/.y->\mathrm{Function}\left[x,x^k\mathrm{Exp}\left[rx\right]\right],\left\{k,0,q\right\}\right]$

Out[7]=

$\left\{e^{rx}{a}_0+e^{rx}r{a}_1+e^{rx}{r}^2{a}_2+e^{rx}{r}^3{a}_3⩵0,e^{rx}x{a}_0+\left(e^{rx}+e^{rx}rx\right)a_1+\left(2e^{rx}r+e^{rx}{r}^{2}x\right)a_2+\left(3e^{rx}{r}^2+e^{rx}{r}^{3}x\right)a_3⩵0,e^{rx}{x}^2{a}_0+\left(2e^{rx}x+e^{rx}r{x}^2\right)a_1+\left(2e^{rx}+4e^{rx}rx+e^{rx}{r}^2{x}^2\right)a_2+\left(6e^{rx}r+6e^{rx}{r}^{2}x+e^{rx}{r}^3{x}^2\right)a_3⩵0,e^{rx}{x}^3{a}_0+\left(3e^{rx}{x}^2+e^{rx}r{x}^3\right)a_1+\left(6e^{rx}x+6e^{rx}r{x}^2+e^{rx}{r}^2{x}^3\right)a_2+\left(6e^{rx}+18e^{rx}rx+9e^{rx}{r}^2{x}^2+e^{rx}{r}^3{x}^3\right)a_3⩵0\right\}$

In[8]:=

$\mathrm{Simplify}\left[\mathrm{sij},\mathrm{ehdot}\right]$

Out[8]=

$\left\{\mathrm{True},\mathrm{True},e^{rx}\left(a_2+3r{a}_3\right)⩵0,e^{rx}\left(x{a}_2+\left(1+3rx\right)a_3\right)⩵0\right\}$

Yhtälön toteuttavia ratkaisuja näyttää todellakin olevan nollakohdan r kertaluvun p mukainen määrä, kuten teorian mukaan pitääkin.

Polynomiehtojen käsittelyyn symboliset laskentajärjestelmät kuten Mathematica käyttävät ns. Gröbnerin kantoja. Probleeman monimutkaistuessa näiden käyttö tulee kuitenkin raskaaksi hyvin nopeasti. Vaikka edellä oleva lasku voidankin periaatteessa laskea millä tahansa arvoilla n, p, q, laskenta alkaa arvojen kasvaessa vaatia aikaa ja muistia todella paljon. Lukija kokeilkoon!

Linkkejä

vakiokertoiminen homogeeniyhtälö

SKK 27.04.2001

Created by Mathematica  (April 13, 2005)