numabj.nb

Adamsin – Bashforthin menetelmän johto

Integroimalla differentiaaliyhtälö $y' = f (x, y)$ puolittain välin $[x_{k}, x_{k + 1}]$ yli saadaan

$y (x_{k + 1}) - y (x_{k}) = \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} f (x, y (x)) ⅆ x .$

Adamsin – Bashforthin menetelmässä integraalille lasketaan approksimaatio korvaamalla funktio $f (x, y (x))$ kolmannen asteen interpolaatiopolynomilla. Tämän tukipisteinä (so. pisteinä, joiden kautta polynomin kuvaaja kulkee) ovat neljä edellistä jo laskettua pistettä $(x_{j}, f (x_{j}, y_{j}))$ , $j = k - 3, k - 2, k - 1, k$ .

In[1]:=

$tukipisteet = {x_{k} - 3 h, x_{k} - 2 h, x_{k} - h, x_{k}}$

Out[1]=

${- 3 h + x_{k}, - 2 h + x_{k}, - h + x_{k}, x_{k}}$

In[2]:=

$funktionarvot = {f_{k - 3}, f_{k - 2}, f_{k - 1}, f_{k}}$

Out[2]=

${f_{- 3 + k}, f_{- 2 + k}, f_{- 1 + k}, f_{k}}$

Interpolaatiopolynomin muodostamisessa tarvittavat pisteet ovat

In[3]:=

$interpolaatiodata = Transpose [{tukipisteet, funktionarvot}]$

Out[3]=

${{- 3 h + x_{k}, f_{- 3 + k}}, {- 2 h + x_{k}, f_{- 2 + k}}, {- h + x_{k}, f_{- 1 + k}}, {x_{k}, f_{k}}}$

Interpolaatiopolynomi saadaan yhdellä komennolla (muuttujana $t$ ):

In[4]:=

$p = InterpolatingPolynomial [interpolaatiodata, t] // Expand$

Out[4]=

$- \frac{t f_{- 3 + k}}{3 h} - \frac{t^{2} f_{- 3 + k}}{2 h^{2}} - \frac{t^{3} f_{- 3 + k}}{6 h^{3}} + \frac{3 t f_{- 2 + k}}{2 h} + \frac{2 t^{2} f_{- 2 + k}}{h^{2}} + \frac{t^{3} f_{- 2 + k}}{2 h^{3}} - \frac{3 t f_{- 1 + k}}{h} - \frac{5 t^{2} f_{- 1 + k}}{2 h^{2}} - \frac{t^{3} f_{- 1 + k}}{2 h^{3}} + f_{k} + \frac{11 t f_{k}}{6 h} + \frac{t^{2} f_{k}}{h^{2}} + \frac{t^{3} f_{k}}{6 h^{3}} + \frac{f_{- 3 + k} x_{k}}{3 h} + \frac{t f_{- 3 + k} x_{k}}{h^{2}} + \frac{t^{2} f_{- 3 + k} x_{k}}{2 h^{3}} - \frac{3 f_{- 2 + k} x_{k}}{2 h} - \frac{4 t f_{- 2 + k} x_{k}}{h^{2}} - \frac{3 t^{2} f_{- 2 + k} x_{k}}{2 h^{3}} + \frac{3 f_{- 1 + k} x_{k}}{h} + \frac{5 t f_{- 1 + k} x_{k}}{h^{2}} + \frac{3 t^{2} f_{- 1 + k} x_{k}}{2 h^{3}} - \frac{11 f_{k} x_{k}}{6 h} - \frac{2 t f_{k} x_{k}}{h^{2}} - \frac{t^{2} f_{k} x_{k}}{2 h^{3}} - \frac{f_{- 3 + k} x_{k}^{2}}{2 h^{2}} - \frac{t f_{- 3 + k} x_{k}^{2}}{2 h^{3}} + \frac{2 f_{- 2 + k} x_{k}^{2}}{h^{2}} + \frac{3 t f_{- 2 + k} x_{k}^{2}}{2 h^{3}} - \frac{5 f_{- 1 + k} x_{k}^{2}}{2 h^{2}} - \frac{3 t f_{- 1 + k} x_{k}^{2}}{2 h^{3}} + \frac{f_{k} x_{k}^{2}}{h^{2}} + \frac{t f_{k} x_{k}^{2}}{2 h^{3}} + \frac{f_{- 3 + k} x_{k}^{3}}{6 h^{3}} - \frac{f_{- 2 + k} x_{k}^{3}}{2 h^{3}} + \frac{f_{- 1 + k} x_{k}^{3}}{2 h^{3}} - \frac{f_{k} x_{k}^{3}}{6 h^{3}}$

Integraalin approksimaatio saadaan integroimalla polynomi:

In[5]:=

$integraali = Integrate [p, {t, x_{k}, x_{k} + h}] // Simplify$

Out[5]=

$\frac{1}{24} h (- 9 f_{- 3 + k} + 37 f_{- 2 + k} - 59 f_{- 1 + k} + 55 f_{k})$

Linkkejä

Adamsin - Bashforthin menetelmä

SKK 30.04.2001

Created by Mathematica (July 21, 2004)