prvdyh.nb

Käyräparven differentiaaliyhtälön etsiminen

Olkoon annettuna käyräparvi

In[1]:=

$\mathrm{kayraparvi}=\left(x+C\left[1\right]\right)^2+\left(y+C\left[2\right]\right)^2==C\left[3\right]^2$

Out[1]=

${\left(x+C\left[1\right]\right)}^2+{\left(y+C\left[2\right]\right)}^2⩵{C\left[3\right]}^2$

missä C[1], C[2] ja C[3] ovat parven parametrit. Jokaisella (ainakin lähes) näiden arvokombinaatiolla parvesta saatava yhtälö esittää tason ympyrää. Toisaalta tason jokaisen ympyrän yhtälö on tätä muotoa.

Tulkitaan $y$ funktioksi muuttujasta $x$ tavoitteena löytää differentiaaliyhtälö tälle funktiolle:

In[2]:=

$\mathrm{parvi}=\mathrm{kayraparvi}/.y->y\left[x\right]$

Out[2]=

${\left(x+C\left[1\right]\right)}^2+{\left(C\left[2\right]+y\left[x\right]\right)}^2⩵{C\left[3\right]}^2$

Derivoidaan tämä yhtälö kolmesti, minkä jälkeen saaduista neljästä yhtälöstä eliminoidaan parametrit C[1], C[2] ja C[3]:

In[3]:=

$\mathrm{parvi1}=D\left[\mathrm{parvi},x\right]$

Out[3]=

$2\left(x+C\left[1\right]\right)+2\left(C\left[2\right]+y\left[x\right]\right)y^{\prime }\left[x\right]⩵0$

In[4]:=

$\mathrm{parvi2}=D\left[\mathrm{parvi},\left\{x,2\right\}\right]$

Out[4]=

$2+2{y^{\prime }\left[x\right]}^2+2\left(C\left[2\right]+y\left[x\right]\right)y^{\mathrm{\prime \prime }}\left[x\right]⩵0$

In[5]:=

$\mathrm{parvi3}=D\left[\mathrm{parvi},\left\{x,3\right\}\right]$

Out[5]=

$6y^{\prime }\left[x\right]y^{\mathrm{\prime \prime }}\left[x\right]+2\left(C\left[2\right]+y\left[x\right]\right)y^{\left(3\right)}\left[x\right]⩵0$

In[6]:=

$\mathrm{diffyht}=\mathrm{Eliminate}\left[\left\{\mathrm{parvi},\mathrm{parvi1},\mathrm{parvi2},\mathrm{parvi3}\right\},\left\{C\left[1\right],C\left[2\right],C\left[3\right]\right\}\right]$

Out[6]=

$\left(1+{y^{\prime }\left[x\right]}^2\right)y^{\left(3\right)}\left[x\right]⩵3y^{\prime }\left[x\right]{y^{\mathrm{\prime \prime }}\left[x\right]}^2$

Tuloksena on kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö, jonka yleisenä ratkaisuna on alkuperäinen käyräparvi. Kyseessä on siten kaikkien tason ympyröiden differentiaaliyhtälö.

Saadulla differentiaaliyhtälöllä on kuitenkin muitakin ratkaisuja:

In[7]:=

$\mathrm{diffyht}/.y\to \mathrm{Function}\left[x,D\left[1\right]x+D\left[2\right]\right]$

Out[7]=

$\mathrm{True}$

Linkkejä

käyräparvi ja differentiaaliyhtälö
edellä saadun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen separoimalla

SKK 27.04.2001

Created by Mathematica  (July 21, 2004)