radahaj1.nb

Radiohiiliajoitus

Jokaiselle radioaktiiviselle atomiytimelle on olemassa tietty todennäköisyys sen hajoamiseen määrätyllä aikavälillä. Hajoavien atomien lukumäärä $\Delta$ on siten suoraan verrannollinen aktiivisten atomiytimien lukumäärään $N$ ja lyhyellä aikavälillä myös likimain tarkasteltavaan aikaan $\Delta$:

$\Delta \approx -\lambda N\Delta .$

Tämä voidaan kirjoittaa muotoon

$\frac{\Delta }{\Delta }\approx -\lambda N.$

Kun $\Delta \to 0$, approksimatiivinen yhtälö muuttuu tarkaksi yhtälöksi ja vasen puoli lähestyy derivaattaa:

$\frac{d}{t}=-\lambda N,$

On siis saatu radioaktiivisen hajoamisen differentiaaliyhtälö. Tässä $\lambda$ on verrannolisuuskerroin, ns. hajoamisvakio. Luonnollinen alkuehto on aineen määrä tarkastelun alussa hetkellä $t=0$: $N\left(0\right)=N_0$.

Poistetaan mahdolliset aiemmat muuttujat ja syötetään differentiaaliyhtälö alkuehtoineen:

$\mathrm{Remove}\left[''Global`*''\right]$

In[1]:=

$\mathrm{yhtalo}=n\text{'}\left[t\right]==-\lambda n\left[t\right]$

Out[1]=

$n^{\prime }\left[t\right]⩵-\lambda n\left[t\right]$

In[2]:=

$\mathrm{alkuehto}=n\left[0\right]⩵\mathrm{n0}$

Out[2]=

$n\left[0\right]⩵\mathrm{n0}$

Ratkaisuksi saadaan

In[3]:=

$\mathrm{rtk}=\mathrm{DSolve}\left[\left\{\mathrm{yhtalo},\mathrm{alkuehto}\right\},n\left[t\right],t\right]$

Out[3]=

$\left\{\left\{n\left[t\right]\to e^{-t\lambda }\mathrm{n0}\right\}\right\}$

In[4]:=

$\mathrm{ainemaara}=n\left[t\right]/.\mathrm{First}\left[\mathrm{rtk}\right]$

Out[4]=

$e^{-t\lambda }\mathrm{n0}$

Radioaktiivisen aineen puoliintumisaika $T_p$ on se aika, jossa radioaktiivisen aineen määrä on vähentynyt puoleen. Hajoamisvakio voidaan lausua puoliintumisajan avulla:

In[5]:=

$\mathrm{hajvakio}=\mathrm{Solve}\left[\left(\mathrm{ainemaara}/.t\to \mathrm{Tp}\right)⩵\mathrm{n0}/2,\lambda \right]$

$\mathrm{Solve}\text{::}\mathrm{ifun}:\text{Inverse functions are being used by}\mathrm{Solve}\text{, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.}\mathrm{More\dots }$

Out[5]=

$\left\{\left\{\lambda \to \frac{\mathrm{Log}\left[2\right]}{\mathrm{Tp}}\right\}\right\}$

Tällöin ainemäärä saa muodon

In[6]:=

$\mathrm{ainemaaratoisin}=\mathrm{ainemaara}/.\mathrm{First}\left[\mathrm{hajvakio}\right]$

Out[6]=

$2^{-\frac{t}{\mathrm{Tp}}}\mathrm{n0}$

Jokainen puoliintumisajan pituinen ajanjakso merkitsee ainemäärän puolittumista:

In[7]:=

$\mathrm{Table}\left[\mathrm{ainemaaratoisin}/.t\to k\mathrm{Tp},\left\{k,0,10\right\}\right]$

Out[7]=

$\left\{\mathrm{n0},\frac{\mathrm{n0}}{2},\frac{\mathrm{n0}}{4},\frac{\mathrm{n0}}{8},\frac{\mathrm{n0}}{16},\frac{\mathrm{n0}}{32},\frac{\mathrm{n0}}{64},\frac{\mathrm{n0}}{128},\frac{\mathrm{n0}}{256},\frac{\mathrm{n0}}{512},\frac{\mathrm{n0}}{1024}\right\}$

Esimerkkinä olkoon eräässä fossiilinäytteessä havaittu radiohiilipitoisuus, joka oli 9 % vapaana olevan aineen radiohiilipitoisuudesta. Radiohiilen puoliintumisajaksi tiedetään 5730 vuotta. Näytteen ikä voidaan tämän perusteella määrittää, jos oletetaan, että luonnossa vapaana olevan aineen radiohiilipitoisuus ei ole muuttunut eikä näytteessä ole sen maahan joutumisen jälken tapahtunut hiiliaineenvaihduntaa. Näytteeseen aikoinaan sitoutunut radiohiili on tällöin aktiivisuutensa takia vähitellen vähentynyt todetulle yhdeksän prosentin tasolle. Saadaan siis ehto

In[8]:=

$\mathrm{ehto}=0.09\mathrm{n0}⩵\mathrm{ainemaaratoisin}/.\mathrm{Tp}\to 5730$

Out[8]=

$0.09\mathrm{n0}⩵2^{-t/5730}\mathrm{n0}$

Näytteen iäksi saadaan

In[9]:=

$\mathrm{Solve}\left[\mathrm{ehto},t\right]$

$\mathrm{Solve}\text{::}\mathrm{ifun}:\text{Inverse functions are being used by}\mathrm{Solve}\text{, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.}\mathrm{More\dots }$

Out[9]=

$\left\{\left\{t\to 19905.625709144726\right\}\right\}$

siis lähes 20000 vuotta.

Tehtävä

Plutoniumin isotoopin 239 puoliintumisaika on noin 24100 vuotta. Kauanko kestää, ennen kuin plutoniumia sisältävän materiaalin aktiivisuus on laskennut a) 10 prosenttiin, b) yhteen prosenttiin alkuperäisestä? Voidaanko määritellä 'kymmenesosaan laskemisaika' samaan tapaan kuin puoliintumisaika? Millainen on näiden aikojen suhde?

Linkkejä

radioaktiivinen hajoamisketju

SKK 04.05.2001

Created by Mathematica  (July 21, 2004)