rtkalk.nb

Alkuehtoa vastaavan yksittäisratkaisun etsiminen

Muodostamalla ensin yleinen ratkaisu

Olkoon annettuna differentiaaliyhtälö alkuehtoineen:

In[1]:=

$\mathrm{diffyht}=x^2y\text{''}\left[x\right]-3xy\text{'}\left[x\right]+4y\left[x\right]==x^3$

Out[1]=

$4y\left[x\right]-3x{y}^{\prime }\left[x\right]+x^2{y}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[x\right]⩵x^3$

In[2]:=

$\mathrm{ehto1}=y\left[2\right]==3$

Out[2]=

$y\left[2\right]⩵3$

In[3]:=

$\mathrm{ehto2}=y\text{'}\left[2\right]==4$

Out[3]=

$y^{\prime }\left[2\right]⩵4$

Yleinen ratkaisu funktion muodossa saadaan DSolve-funktiolla:

In[4]:=

$\mathrm{ratkaisu}=\mathrm{DSolve}\left[\mathrm{diffyht},y,x\right]$

Out[4]=

$\left\{\left\{y\to \mathrm{Function}\left[\left\{x\right\},x^3+x^{2}C\left[1\right]+2x^{2}C\left[2\right]\mathrm{Log}\left[x\right]\right]\right\}\right\}$

Sijoittamalla tämä alkuehtoihin saadaan algebralliset yhtälöt vakioiden C[1] ja C[2] määrittämiseksi:

In[5]:=

$\mathrm{yht1}=\mathrm{ehto1}/.\mathrm{First}\left[\mathrm{ratkaisu}\right]$

Out[5]=

$8+4C\left[1\right]+8C\left[2\right]\mathrm{Log}\left[2\right]⩵3$

In[6]:=

$\mathrm{yht2}=\mathrm{ehto2}/.\mathrm{First}\left[\mathrm{ratkaisu}\right]$

Out[6]=

$12+4C\left[1\right]+4C\left[2\right]+8C\left[2\right]\mathrm{Log}\left[2\right]⩵4$

Näistä voidaan ratkaista vakioiden arvot:

In[7]:=

$\mathrm{vakiot}=\mathrm{Solve}\left[\left\{\mathrm{yht1},\mathrm{yht2}\right\},\left\{C\left[1\right],C\left[2\right]\right\}\right]$

Out[7]=

$\left\{\left\{C\left[1\right]\to -\frac{1}{4}\left(5-6\mathrm{Log}\left[2\right]\right),C\left[2\right]\to -\frac{3}{4}\right\}\right\}$

Sijoittamalla vakiot yleiseen ratkaisuun saadaan alkuehtoa vastaava yksittäisratkaisu:

In[8]:=

$\mathrm{y0}=y/.\mathrm{First}\left[\mathrm{ratkaisu}\right]/.\mathrm{First}\left[\mathrm{vakiot}\right]$

Out[8]=

$\mathrm{Function}\left[\left\{x\right\},x^3+\frac{1}{4}{x}^2\left(-\left(5-6\mathrm{Log}\left[2\right]\right)\right)+\frac{2}{4}{x}^2\left(-3\right)\mathrm{Log}\left[x\right]\right]$

Sievennettynä ratkaisun lauseke on

In[9]:=

$\mathrm{y0}\left[x\right]//\mathrm{Simplify}$

Out[9]=

$\frac{1}{4}{x}^2\left(-5+4x+\mathrm{Log}\left[64\right]-6\mathrm{Log}\left[x\right]\right)$

Tämä toteuttaa differentiaaliyhtälön ja alkuehdot:

In[10]:=

$\left\{\mathrm{diffyht},\mathrm{ehto1},\mathrm{ehto2}\right\}/.y->\mathrm{y0}//\mathrm{Simplify}$

Out[10]=

$\left\{\mathrm{True},\mathrm{True},\mathrm{True}\right\}$

Ratkaisemalla suoraan DSolve-komennolla

Alkuehdot voidaan yhtälön ohella antaa DSolve-komennolle, jolloin yksittäisratkaisu saadaan suoraan:

In[11]:=

$\mathrm{ratkaisu}=\mathrm{DSolve}\left[\left\{\mathrm{diffyht},\mathrm{ehto1},\mathrm{ehto2}\right\},y,x\right]$

Out[11]=

$\left\{\left\{y\to \mathrm{Function}\left[\left\{x\right\},\frac{1}{4}\left(-5x^2+4x^3+6x^2\mathrm{Log}\left[2\right]-6x^2\mathrm{Log}\left[x\right]\right)\right]\right\}\right\}$

Ratkaisufunktio ja sen lauseke ovat tällöin

In[12]:=

$\mathrm{y0}=y/.\mathrm{First}\left[\mathrm{ratkaisu}\right]$

Out[12]=

$\mathrm{Function}\left[\left\{x\right\},\frac{1}{4}\left(-5x^2+4x^3+6x^2\mathrm{Log}\left[2\right]-6x^2\mathrm{Log}\left[x\right]\right)\right]$

In[13]:=

$\mathrm{y0}\left[x\right]//\mathrm{Simplify}$

Out[13]=

$\frac{1}{4}{x}^2\left(-5+4x+\mathrm{Log}\left[64\right]-6\mathrm{Log}\left[x\right]\right)$

Linkkejä

yleinen ja yksittäisratkaisu
alkuehto
ratkaiseminen algebrallisesti
ratkaisun sijoittaminen yhtälöön

SKK 27.04.2001

Created by Mathematica  (July 21, 2004)