rtksij.nb

Differentiaaliyhtälön ratkaisun sijoittaminen yhtälöön

Lausekemuotoisen ratkaisun sijoittaminen

Olkoon tarkastelun kohteena differentiaaliyhtälö

In[1]:=

$diffyht = y'' [x] - 4 y' [x] + 13 y [x] == 0$

Out[1]=

$13 y [x] - 4 y^{'} [x] + y^{′′} [x] ⩵ 0$

jonka lausekemuotoinen ratkaisu on

In[2]:=

$y0 = DSolve [diffyht, y [x], x]$

Out[2]=

${{y [x] \to ⅇ^{2 x} C [2] Cos [3 x] + ⅇ^{2 x} C [1] Sin [3 x]}}$

Kyseessä on ratkaisufunktiota $y (x)$ koskeva sijoitussääntö. Vastaavat sijoitussäännöt derivaatoille saadaan tätä derivoimalla:

In[3]:=

$y1 = D [y0, x]$

Out[3]=

${{y^{'} [x] \to 3 ⅇ^{2 x} C [1] Cos [3 x] + 2 ⅇ^{2 x} C [2] Cos [3 x] + 2 ⅇ^{2 x} C [1] Sin [3 x] - 3 ⅇ^{2 x} C [2] Sin [3 x]}}$

In[4]:=

$y2 = D [y0, {x, 2}]$

Out[4]=

${{y^{′′} [x] \to 12 ⅇ^{2 x} C [1] Cos [3 x] - 5 ⅇ^{2 x} C [2] Cos [3 x] - 5 ⅇ^{2 x} C [1] Sin [3 x] - 12 ⅇ^{2 x} C [2] Sin [3 x]}}$

Sijoitussäännöt voidaan yhdistää yhdeksi sijoituslistaksi Flatten-komennolla ja sijoittaa yhtälöön:

In[5]:=

$sijoitus1 = diffyht /. Flatten [{y0, y1, y2}]$

Out[5]=

$12 ⅇ^{2 x} C [1] Cos [3 x] - 5 ⅇ^{2 x} C [2] Cos [3 x] - 5 ⅇ^{2 x} C [1] Sin [3 x] - 12 ⅇ^{2 x} C [2] Sin [3 x] + 13 (ⅇ^{2 x} C [2] Cos [3 x] + ⅇ^{2 x} C [1] Sin [3 x]) - 4 (3 ⅇ^{2 x} C [1] Cos [3 x] + 2 ⅇ^{2 x} C [2] Cos [3 x] + 2 ⅇ^{2 x} C [1] Sin [3 x] - 3 ⅇ^{2 x} C [2] Sin [3 x]) ⩵ 0$

Tämän sieventäminen osoittaa, että yhtälö toteutuu:

In[6]:=

$Simplify [sijoitus1]$

Out[6]=

$True$

Funktiomuotoisen ratkaisun sijoittaminen

Hieman vähemmällä päästään, jos differentiaaliyhtälön ratkaisu halutaan funktion eikä lausekkeen muodossa:

In[7]:=

$y0 = DSolve [diffyht, y, x]$

Out[7]=

${{y \to Function [{x}, ⅇ^{2 x} C [2] Cos [3 x] + ⅇ^{2 x} C [1] Sin [3 x]]}}$

Sijoittamalla differentiaaliyhtälöön saadaan

In[8]:=

$sijoitus2 = diffyht /. First [y0]$

Out[8]=

minkä jälkeen sieventäminen osoittaa, että yhtälö toteutuu:

In[9]:=

$Simplify [sijoitus2]$

Out[9]=

$True$

Derivaattoja koskevia sijoitussääntöjä ei siis tarvitse erikseen muodostaa.

Linkkejä

ratkaiseminen algebrallisesti

SKK 27.04.2001

Created by Mathematica (July 21, 2004)