ryhsym.nb

Usean yhtälön ryhmän ratkaiseminen yhteen yhtälöön palauttamalla

Olkoon tarkasteltavana kolmen differentiaaliyhtälön normaalimuotoinen ryhmä, jossa tuntemattomina funktioina ovat $x\left(t\right)$, $y\left(t\right)$ ja $z\left(t\right)$:

In[1]:=

$\mathrm{dy1}=x\text{'}\left[t\right]==x\left[t\right]+y\left[t\right]-z\left[t\right]+1;$

In[2]:=

$\mathrm{dy2}=y\text{'}\left[t\right]==-x\left[t\right]+5y\left[t\right]+z\left[t\right]+t;$

In[3]:=

$\mathrm{dy3}=z\text{'}\left[t\right]==-2x\left[t\right]+2y\left[t\right]+4z\left[t\right]+t^2;$

In[4]:=

$\left\{\mathrm{dy1},\mathrm{dy2},\mathrm{dy3}\right\}//\mathrm{TableForm}$

Out[4]//TableForm=

In[5]:=

$\mathrm{funktiot}=\left\{x\left[t\right],y\left[t\right],z\left[t\right]\right\};$

Ryhmä pyritään ratkaisemaan eliminoimalla ensin yhtälöistä funktiot $x$ ja $y$, jolloin saadaan yksinomaan funktiota $z$ koskeva differentiaaliyhtälö. Tätä varten kaksi ensimmäistä yhtälöä derivoidaan kerran ja viimeinen yhtälö kaksi kertaa, jolloin saadaan kaikkiaan seitsemän yhtälöä:

In[6]:=

$\mathrm{dy4}=D\left[\mathrm{dy1},t\right];$

In[7]:=

$\mathrm{dy5}=D\left[\mathrm{dy2},t\right];$

In[8]:=

$\mathrm{dy6}=D\left[\mathrm{dy3},t\right];$

In[9]:=

$\mathrm{dy7}=D\left[\mathrm{dy3},\left\{t,2\right\}\right];$

In[10]:=

$\left\{\mathrm{dy1},\mathrm{dy2},\mathrm{dy3},\mathrm{dy4},\mathrm{dy5},\mathrm{dy6},\mathrm{dy7}\right\}//\mathrm{TableForm}$

Out[10]//TableForm=

Kuudesta ensimmäisestä yhtälöstä voidaan ratkaista funktiot $x$ ja $y$ derivaattoineen ja tämän jälkeen sijoittaa lausekkeet perättäin viimeiseen yhtälöön:

In[11]:=

$\mathrm{elimsij}=\mathrm{Solve}\left[\left\{\mathrm{dy1},\mathrm{dy2},\mathrm{dy3},\mathrm{dy4},\mathrm{dy5},\mathrm{dy6}\right\},\left\{x\left[t\right],y\left[t\right],x\text{'}\left[t\right],y\text{'}\left[t\right],x\text{''}\left[t\right],y\text{''}\left[t\right]\right\}\right]$

Out[11]=

$\left\{\left\{x\left[t\right]\to -\frac{1}{4}\left(-2+4t-4t^2-12z\left[t\right]+8z^{\prime }\left[t\right]-z^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\right),y\left[t\right]\to -\frac{1}{4}\left(-2+4t-2t^2-4z\left[t\right]+6z^{\prime }\left[t\right]-z^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\right),x^{\prime }\left[t\right]\to -\frac{1}{2}\left(-4+4t-3t^2-6z\left[t\right]+7z^{\prime }\left[t\right]-z^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\right),y^{\prime }\left[t\right]\to -\frac{1}{2}\left(-4+6t-3t^2-6z\left[t\right]+11z^{\prime }\left[t\right]-2z^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\right),x^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\to -\frac{1}{2}\left(-8+10t-6t^2-12z\left[t\right]+20z^{\prime }\left[t\right]-3z^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\right),y^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\to -\frac{1}{2}\left(-18+26t-12t^2-24z\left[t\right]+46z^{\prime }\left[t\right]-9z^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]\right)\right\}\right\}$

In[12]:=

$\mathrm{dy}=\mathrm{dy7}/.\mathrm{First}\left[\mathrm{elimsij}\right]$

Out[12]=

$z^{\left(3\right)}\left[t\right]⩵12-16t+6t^2+12z\left[t\right]-26z^{\prime }\left[t\right]+10z^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]$

Tuloksena on kolmannen kertaluvun yhtälö funktiolle $z$. Tämä voidaan löytää myös hieman suorempaan käyttämällä Mathematican Eliminate-komentoa:

In[13]:=

$\mathrm{Eliminate}\left[\left\{\mathrm{dy1},\mathrm{dy2},\mathrm{dy3},\mathrm{dy4},\mathrm{dy5},\mathrm{dy6},\mathrm{dy7}\right\},\left\{x\left[t\right],y\left[t\right],x\text{'}\left[t\right],y\text{'}\left[t\right],x\text{''}\left[t\right],y\text{''}\left[t\right]\right\}\right]$

Out[13]=

$z^{\left(3\right)}\left[t\right]⩵12-16t+6t^2+12z\left[t\right]-26z^{\prime }\left[t\right]+10z^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]$

Yhtälön funktiomuotoiseksi ratkaisuksi saadaan

In[14]:=

$\mathrm{zratk}=\mathrm{DSolve}\left[\mathrm{dy},z,t\right]$

Out[14]=

$\left\{\left\{z\to \mathrm{Function}\left[\left\{t\right\},\frac{1}{36}\left(-71-30t-18t^2\right)+e^{\left(2-\sqrt{2}\right)t}C\left[1\right]+e^{\left(2+\sqrt{2}\right)t}C\left[2\right]+e^{6t}C\left[3\right]\right]\right\}\right\}$

Yhtälöryhmän yleinen ratkaisu muodossa $x\left(t\right)$, $y\left(t\right)$, $z\left(t\right)$ saadaan tätä ja aiempia lausekkeita käyttäen:

In[15]:=

$\mathrm{ylratk}=\mathrm{funktiot}/.\mathrm{First}\left[\mathrm{elimsij}\right]/.\mathrm{First}\left[\mathrm{zratk}\right]//\mathrm{Simplify};$

$\mathrm{ylratk}//\mathrm{TableForm}$

Out[16]//TableForm=

Tiettyä alkuehtoa vastaavat vakioiden arvot saadaan tämän jälkeen tavalliseen tapaan ratkaisemalla algebrallinen yhtälöryhmä. Olkoon alkuehtona $x\left(0\right)=1$, $y\left(0\right)=-2$, $z\left(0\right)=3$. Tällöin

In[17]:=

$\mathrm{vakiot}=\mathrm{Solve}\left[\left(\mathrm{ylratk}/.t->0\right)==\left\{1,-2,3\right\},\left\{C\left[1\right],C\left[2\right],C\left[3\right]\right\}\right]//\mathrm{Simplify}$

Out[17]=

$\left\{\left\{C\left[3\right]\to -\frac{43}{252},C\left[1\right]\to \frac{20+23\sqrt{2}}{4+8\sqrt{2}},C\left[2\right]\to \frac{1}{28}\left(72-17\sqrt{2}\right)\right\}\right\}$

Vastaava yksittäisratkaisu saadaan sijoittamalla vakioiden arvot yleiseen ratkaisuun:

In[18]:=

$\mathrm{yksittratk}=\mathrm{ylratk}/.\mathrm{First}\left[\mathrm{vakiot}\right]//\mathrm{Simplify};$

$\mathrm{yksittratk}//\mathrm{TableForm}$

Out[19]//TableForm=

Ratkaisujen kuvaajat:

In[20]:=

$\mathrm{Plot}\left[\mathrm{Evaluate}\left[\mathrm{yksittratk}\right],\left\{t,0,1\right\},\mathrm{PlotRange}->\left\{-20,20\right\}\right]$

Out[20]=

$⁃\mathrm{Graphics}⁃$

Edellä oleva esitys kuvaa, miten eliminointiprosessi ja yhtälöryhmän ratkaiseminen tapahtuu. Jos tavoitteena on ainoastaan saada tietyn alkuarvoprobleeman ratkaisu, päästään paljon vähemmällä kohdistamalla Mathematican DSolve-funktio suoraan alkuperäiseen yhtälöryhmään ja alkuehtoon:

In[21]:=

$\mathrm{suoraratk}=\mathrm{funktiot}/.\mathrm{Flatten}\left[\mathrm{DSolve}\left[\left\{\mathrm{dy1},\mathrm{dy2},\mathrm{dy3},x\left[0\right]==1,y\left[0\right]==-2,z\left[0\right]==3\right\},\mathrm{funktiot},t\right]\right]//\mathrm{Simplify};$

$\mathrm{suoraratk}//\mathrm{TableForm}$

Out[22]//TableForm=

Eri tavoilla saadut ratkaisut ovat todellakin samat:

In[23]:=

$\mathrm{yksittratk}==\mathrm{suoraratk}//\mathrm{Simplify}$

Out[23]=

$\mathrm{True}$

Linkkejä

differentiaaliyhtälöryhmä
ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
differentiaaliyhtälön ratkaiseminen symbolisella ohjelmalla

SKK 30.04.2001

Created by Mathematica  (July 21, 2004)