RLC-vaihtovirtapiiri: resonanssi

Olkoon tarkastelun kohteena tavallinen RLC-vaihtovirtapiiri. Piirissä on kolme komponenttia, R ohmin vastus, L henryn induktanssi ja C faradin kapasitanssi.  

Piiriin syötettyyn jännitteeseen kohdistuu kolme eri pudotusta,

Näiden summasta syntyy piirin Kirchhoffin lain mukainen sähkömotorinen voima E(t). Mikäli piiriin syötetty jännite on sinimuotoista vaihtovirtaa E(t) = $E_0$ sin(ω t), saadaan piirille yhtälö

$E\left(t\right)=L\frac{dI\left(t\right)}{dt}+RI\left(t\right)+\frac{1}{C}\int I\left(t\right)dt=E_0\sin \left(\omega t\right).$

Integraalitermistä päästään eroon derivoimalla yhtälö ajan suhteen:

$L\frac{d^{2}I\left(t\right)}{d{t}^2}+R\frac{dI\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{C}I\left(t\right)=E_0\omega \cos \left(\omega t\right).$

Tämä on differentiaaliyhtälö pakotetulle värähtelylle, jossa ulkoinen pakottava jännite on sinimuotoinen amplitudina $E_0$.

Jos E(t)=0, kyseessä vapaa värähtelypiiri ja  differentiaaliyhtälö on homogeeninen.

Jos piirissä ei ole vastusta, ts. R = 0, piiri on vaimentamaton. Vastuksen olemassaolo merkitsee, että piirissä on vaimennnus.

Tarkastellaan differentialiyhtälön ratkaisuja vakioiden L, R, C, $E_0$ ja ω eri arvoilla.

Aluksi hävitetään mahdollisista aiemmista laskuista jääneet muuttujat:

$\mathrm{Remove}\left[''Global`*''\right]$

Virtaa kuvaava toisen kertaluvun yhtälö:

In[1]:=

$\mathrm{yhtalo}=Li\text{''}\left[t\right]+Ri\text{'}\left[t\right]+1/Ci\left[t\right]⩵\omega \mathrm{E0}\mathrm{Cos}\left[\omega t\right]$

Out[1]=

$\frac{i\left[t\right]}{C}+R{i}^{\prime }\left[t\right]+L{i}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]⩵\mathrm{E0}\omega \mathrm{Cos}\left[t\omega \right]$

Vaimentamaton tapaus

Vaimentamattomassa tapauksessa piirissä ei ole vastusta ja yhtälö on

In[2]:=

$\mathrm{yhtalo1}=\mathrm{yhtalo}/.R\to 0$

Out[2]=

$\frac{i\left[t\right]}{C}+L{i}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]⩵\mathrm{E0}\omega \mathrm{Cos}\left[t\omega \right]$

Alkuehtona olkoon, että piirissä ei tapahdu mitään:

In[3]:=

$\mathrm{alkuehto}=\left\{i\left[0\right]⩵0,i\text{'}\left[0\right]⩵0\right\}$

Out[3]=

$\left\{i\left[0\right]⩵0,i^{\prime }\left[0\right]⩵0\right\}$

Tämän ratkaisu on

In[4]:=

$\mathrm{rtk1}=\mathrm{DSolve}\left[\left\{\mathrm{yhtalo1},\mathrm{alkuehto}\right\},i\left[t\right],t\right]$

Out[4]=

$\left\{\left\{i\left[t\right]\to \frac{1}{-1+CL{\omega }^2}\left(C\mathrm{E0}\omega \mathrm{Cos}\left[\frac{t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]-C\mathrm{E0}\omega {\mathrm{Cos}\left[\frac{t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]}^2\mathrm{Cos}\left[t\omega \right]-C\mathrm{E0}\omega \mathrm{Cos}\left[t\omega \right]{\mathrm{Sin}\left[\frac{t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]}^2\right)\right\}\right\}$

Täsmällinen symbolinen tulos on tarpeen jatkon oivalluksia varten, joten sievennetään ratkaisu:

In[5]:=

$\mathrm{ratkaisu1}=i\left[t\right]/.\mathrm{First}\left[\mathrm{rtk1}\right]//\mathrm{FullSimplify}$

Out[5]=

$\frac{C\mathrm{E0}\omega \left(\mathrm{Cos}\left[\frac{t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]-\mathrm{Cos}\left[t\omega \right]\right)}{-1+CL{\omega }^2}$

Ratkaisu muodostuu kahdesta kosinitermistä: cos(t/$\sqrt{LC}$) on peräisin homogeeniyhtälön yleisestä ratkaisusta ja cos(t ω) epähomogeeniyhtälön yksittäisratkaisusta. Edellinen kuvaa piirin sisäistä värähtelyä, jälkimmäinen ulkoisen jännitteen taajuudella tapahtuvaa värähtelyä.

Ratkaisu tässä muodossa ei kuitenkaan ole pätevä, jos nimittäjä tulee nollaksi:

In[6]:=

$\mathrm{restaajuus}=\mathrm{Solve}\left[-1+CL{\omega }^2⩵0,\omega \right]$

Out[6]=

$\left\{\left\{\omega \to -\frac{1}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right\},\left\{\omega \to \frac{1}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right\}\right\}$

Nollaksi tuloa vastaavaa pakotteen taajuutta kutsutaan resonanssitaajuudeksi. Tällöin piirin sisäinen värähtelytaajuus ja pakotteen taajuus ovat samat. Kyseessä on tilanne, missä epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu saakin erilaisen muodon:

In[7]:=

$\mathrm{yhtalo2}=\mathrm{yhtalo1}/.\mathrm{Last}\left[\mathrm{restaajuus}\right]$

Out[7]=

$\frac{i\left[t\right]}{C}+L{i}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]⩵\frac{\mathrm{E0}\mathrm{Cos}\left[\frac{t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]}{\sqrt{C}\sqrt{L}}$

In[8]:=

$\mathrm{rtk2}=\mathrm{DSolve}\left[\left\{\mathrm{yhtalo2},\mathrm{alkuehto}\right\},i\left[t\right],t\right]$

Out[8]=

$\left\{\left\{i\left[t\right]\to \frac{1}{4L}\left(-\sqrt{C}\mathrm{E0}\sqrt{L}\mathrm{Cos}\left[\frac{t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]+\sqrt{C}\mathrm{E0}\sqrt{L}\mathrm{Cos}\left[\frac{t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]\mathrm{Cos}\left[\frac{2t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]+2\mathrm{E0}t\mathrm{Sin}\left[\frac{t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]+\sqrt{C}\mathrm{E0}\sqrt{L}\mathrm{Sin}\left[\frac{t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]\mathrm{Sin}\left[\frac{2t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]\right)\right\}\right\}$

In[9]:=

$\mathrm{ratkaisu2}=i\left[t\right]/.\mathrm{First}\left[\mathrm{rtk2}\right]//\mathrm{FullSimplify}$

Out[9]=

$\frac{\mathrm{E0}t\mathrm{Sin}\left[\frac{t}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right]}{2L}$

Tämä on tulkittavissa värähtelytermiksi, jossa virran amplitudi $E_0$ t / (2 L) kasvaa rajatta muuttujan t mukana. Käytännössä tämä johtaisi piirin palamiseen.

Arvoilla L = 0.1 H, C= 0.001 μF, $E_0$ = 230 V saadaan resonanssitaajuudella seuraava kuvio:

In[10]:=

$\mathrm{numratkaisu2}=\mathrm{ratkaisu2}/.\left\{L\to 0.1,C\to 0.001,\mathrm{E0}\to 230\right\}$

Out[10]=

$1150.t\mathrm{Sin}\left[99.99999999999999t\right]$

In[11]:=

$\mathrm{Plot}\left[\mathrm{numratkaisu2},\left\{t,0,1.5\right\}\right]$

Out[11]=

$⁃\mathrm{Graphics}⁃$

Resonanssitaajuus on

In[12]:=

$1/\mathrm{Sqrt}\left[LC\right]/.\left\{L\to 0.1,C\to 0.001\right\}$

Out[12]=

$100.$

Jos pakotteen taajuus on lähellä resonanssitaajuutta, saadaan erikoinen värähtely:

In[13]:=

$\mathrm{numratkaisu1}=\mathrm{ratkaisu1}/.\left\{L\to 0.1,C\to 0.001,\mathrm{E0}\to 230,\omega \to 90\right\}$

Out[13]=

$-108.94736842105266\left(-\mathrm{Cos}\left[90t\right]+\mathrm{Cos}\left[99.99999999999999t\right]\right)$

In[14]:=

$\mathrm{Plot}\left[\mathrm{numratkaisu1},\left\{t,0,1.5\right\}\right]$

Out[14]=

$⁃\mathrm{Graphics}⁃$

Tässä pakote aluksi vahvistaa piirissä kulkevaa virtaa kuten resonanssitaajuuden tapauksessakin, mutta koska taajuudet eivät olekaan täsmälleen samat, värähtelyt siirtyvät vähitellen vastakkaisiin vaiheisiin, ja pakote alkaa sammuttaa piirin virtaa.

Syntynyt värähtely voidaan myös ymmärtää sinivärähtelyksi, jolla on sinimuotoinen vaihteleva amplitudi:

In[15]:=

$\mathrm{Cos}\left[100t\right]-\mathrm{Cos}\left[90t\right]⩵-2\mathrm{Sin}\left[5t\right]\mathrm{Sin}\left[95t\right]//\mathrm{Simplify}$

Out[15]=

$\mathrm{True}$

Vaimennettu tapaus

Yleisen vaimennetun tapauksen ratkaisu on

In[16]:=

$\mathrm{yhtalo}$

Out[16]=

$\frac{i\left[t\right]}{C}+R{i}^{\prime }\left[t\right]+L{i}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]⩵\mathrm{E0}\omega \mathrm{Cos}\left[t\omega \right]$

In[17]:=

$\mathrm{rtk}=\mathrm{DSolve}\left[\mathrm{yhtalo},i\left[t\right],t\right]$

Out[17]=

$\left\{\left\{i\left[t\right]\to e^{\frac{\left(-CR-\sqrt{C}\sqrt{-4L+C{R}^2}\right)t}{2CL}}C\left[1\right]+e^{\frac{\left(-CR+\sqrt{C}\sqrt{-4L+C{R}^2}\right)t}{2CL}}C\left[2\right]-\left(4\left(-C\mathrm{E0}{L}^2\omega \mathrm{Cos}\left[t\omega \right]+C^2\mathrm{E0}{L}^3{\omega }^3\mathrm{Cos}\left[t\omega \right]-C^2\mathrm{E0}{L}^{2}R{\omega }^2\mathrm{Sin}\left[t\omega \right]\right)\right)/\left(\left(-2L+C{R}^2-\sqrt{C}R\sqrt{-4L+C{R}^2}+2C{L}^2{\omega }^2\right)\left(-2L+C{R}^2+\sqrt{C}R\sqrt{-4L+C{R}^2}+2C{L}^2{\omega }^2\right)\right)\right\}\right\}$

In[18]:=

$\mathrm{ratkaisu}=i\left[t\right]/.\mathrm{First}\left[\mathrm{rtk}\right]//\mathrm{Simplify}$

Out[18]=

$e^{-\frac{\left(R+\frac{\sqrt{-4L+C{R}^2}}{\sqrt{C}}\right)t}{2L}}C\left[1\right]+e^{-\frac{\left(R-\frac{\sqrt{-4L+C{R}^2}}{\sqrt{C}}\right)t}{2L}}C\left[2\right]+\frac{C\mathrm{E0}\omega \left(\left(1-CL{\omega }^2\right)\mathrm{Cos}\left[t\omega \right]+CR\omega \mathrm{Sin}\left[t\omega \right]\right)}{1-2CL{\omega }^2+C^2{\omega }^2\left(R^2+L^2{\omega }^2\right)}$

Ratkaisu koostuu kahdesta termistä:

In[19]:=

$\mathrm{sisainen}=\mathrm{Select}\left[\mathrm{ratkaisu},!\mathrm{FreeQ}\left[\text{\#},C\left[1\right]\right]\&\right]+\mathrm{Select}\left[\mathrm{ratkaisu},!\mathrm{FreeQ}\left[\text{\#},C\left[2\right]\right]\&\right]$

Out[19]=

$e^{-\frac{\left(R+\frac{\sqrt{-4L+C{R}^2}}{\sqrt{C}}\right)t}{2L}}C\left[1\right]+e^{-\frac{\left(R-\frac{\sqrt{-4L+C{R}^2}}{\sqrt{C}}\right)t}{2L}}C\left[2\right]$

In[20]:=

$\mathrm{ulkoinen}=\mathrm{ratkaisu}/.\left\{C\left[1\right]\to 0,C\left[2\right]\to 0\right\}$

Out[20]=

$\frac{C\mathrm{E0}\omega \left(\left(1-CL{\omega }^2\right)\mathrm{Cos}\left[t\omega \right]+CR\omega \mathrm{Sin}\left[t\omega \right]\right)}{1-2CL{\omega }^2+C^2{\omega }^2\left(R^2+L^2{\omega }^2\right)}$

Sisäisen värähtelyn termi esittää vaimenevaa värähtelyä, sillä muuttujan t kerroin kummassakin eksponentissa on joko negatiivinen reaaliluku tai kompleksiluku, jonka reaaliosa on negatiivinen. Nämä termit siis kuolevat vähitellen pois.

Ulkoisen värähtelyn termi voidaan muokata seuraavasti. Pyritään saattamaan se muotoon, jossa on vain yksi sinifunktio kertoimena sopiva amplitudi A ja argumentissa sopiva vaihesiirto δ.

In[21]:=

$\mathrm{uusimuoto}=A\mathrm{Sin}\left[\omega t+\delta \right]//\mathrm{TrigExpand}$

Out[21]=

$A\mathrm{Cos}\left[t\omega \right]\mathrm{Sin}\left[\delta \right]+A\mathrm{Cos}\left[\delta \right]\mathrm{Sin}\left[t\omega \right]$

Vaatimalla että sini- ja kosinitermien kertoimet vanhassa ja uudessa esitysmuodossa ovat samat, saadaan ehdot, joista pyritään ratkaisemaan A ja δ.

In[22]:=

$\mathrm{ehdot}=\mathrm{MapThread}\left[\mathrm{Equal},\left\{\mathrm{Coefficient}\left[\mathrm{ulkoinen},\left\{\mathrm{Sin}\left[\omega t\right],\mathrm{Cos}\left[\omega t\right]\right\}\right],\mathrm{Coefficient}\left[\mathrm{uusimuoto},\left\{\mathrm{Sin}\left[\omega t\right],\mathrm{Cos}\left[\omega t\right]\right\}\right]\right\}\right]$

Out[22]=

$\left\{\frac{C^2\mathrm{E0}R{\omega }^2}{1-2CL{\omega }^2+C^2{\omega }^2\left(R^2+L^2{\omega }^2\right)}⩵A\mathrm{Cos}\left[\delta \right],\frac{C\mathrm{E0}\omega \left(1-CL{\omega }^2\right)}{1-2CL{\omega }^2+C^2{\omega }^2\left(R^2+L^2{\omega }^2\right)}⩵A\mathrm{Sin}\left[\delta \right]\right\}$

In[23]:=

$\mathrm{ratk}=\mathrm{Solve}\left[\mathrm{ehdot},\left\{A,\delta \right\}\right]//\mathrm{FullSimplify}//\mathrm{PowerExpand}//\mathrm{FullSimplify}$

$\mathrm{General}\text{::}\mathrm{spell1}:\text{Possible spelling error: new symbol name "}\mathrm{ratk}\text{" is similar to existing symbol "}\mathrm{rtk}\text{".}\mathrm{More\dots }$

$\mathrm{Solve}\text{::}\mathrm{ifun}:\text{Inverse functions are being used by}\mathrm{Solve}\text{, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.}\mathrm{More\dots }$

Out[23]=

$\left\{\left\{A\to -\frac{C\mathrm{E0}\omega }{\sqrt{1+C{\omega }^2\left(C{R}^2+L\left(-2+CL{\omega }^2\right)\right)}},\delta \to -\mathrm{ArcCos}\left[-\frac{CR\omega }{\sqrt{1+C{\omega }^2\left(C{R}^2+L\left(-2+CL{\omega }^2\right)\right)}}\right]\right\},\left\{A\to -\frac{C\mathrm{E0}\omega }{\sqrt{1+C{\omega }^2\left(C{R}^2+L\left(-2+CL{\omega }^2\right)\right)}},\delta \to \mathrm{ArcCos}\left[-\frac{CR\omega }{\sqrt{1+C{\omega }^2\left(C{R}^2+L\left(-2+CL{\omega }^2\right)\right)}}\right]\right\},\left\{A\to \frac{C\mathrm{E0}\omega }{\sqrt{1+C{\omega }^2\left(C{R}^2+L\left(-2+CL{\omega }^2\right)\right)}},\delta \to -\mathrm{ArcCos}\left[\frac{CR\omega }{\sqrt{1+C{\omega }^2\left(C{R}^2+L\left(-2+CL{\omega }^2\right)\right)}}\right]\right\},\left\{A\to \frac{C\mathrm{E0}\omega }{\sqrt{1+C{\omega }^2\left(C{R}^2+L\left(-2+CL{\omega }^2\right)\right)}},\delta \to \mathrm{ArcCos}\left[\frac{CR\omega }{\sqrt{1+C{\omega }^2\left(C{R}^2+L\left(-2+CL{\omega }^2\right)\right)}}\right]\right\}\right\}$

Pakotteen aiheuttama virta on siis sinimuotoinen amplitudina

In[24]:=

$\mathrm{amplitudi}=A/.\mathrm{Last}\left[\mathrm{ratk}\right]$

Out[24]=

$\frac{C\mathrm{E0}\omega }{\sqrt{1+C{\omega }^2\left(C{R}^2+L\left(-2+CL{\omega }^2\right)\right)}}$

Amplitudi riippuu pakotteen taajuudesta. Pyritään määrittämään maksimiamplitudi ja vastaava taajuus:

In[25]:=

$\mathrm{derivaatta}=D\left[\mathrm{amplitudi},\omega \right]//\mathrm{Simplify}$

Out[25]=

$\frac{C\mathrm{E0}-C^3\mathrm{E0}{L}^2{\omega }^4}{{\left(1-2CL{\omega }^2+C^2{\omega }^2\left(R^2+L^2{\omega }^2\right)\right)}^{3/2}}$

In[26]:=

$\mathrm{maksimikohta}=\mathrm{Solve}\left[\mathrm{derivaatta}⩵0,\omega \right]$

Out[26]=

$\left\{\left\{\omega \to -\frac{1}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right\},\left\{\omega \to -\frac{i}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right\},\left\{\omega \to \frac{i}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right\},\left\{\omega \to \frac{1}{\sqrt{C}\sqrt{L}}\right\}\right\}$

In[27]:=

$\mathrm{maksimiamplitudi}=\mathrm{amplitudi}/.\mathrm{Last}\left[\mathrm{maksimikohta}\right]//\mathrm{Simplify}//\mathrm{PowerExpand}$

Out[27]=

$\frac{\mathrm{E0}}{R}$

Maksimiarvo saadaan siis resonanssitaajuudella.

Piirretään pakotteen (ulkoisen jännitteen) ja resonanssitaajuutta vastaavan virran kuvaajat:

In[28]:=

$\mathrm{numulkoinen}=\mathrm{ulkoinen}/.\left\{L\to 0.1,C\to 0.0001,R->5.,\mathrm{E0}\to 230\right\}$

Out[28]=

$\frac{0.023\omega \left(\left(1-0.00001{\omega }^2\right)\mathrm{Cos}\left[t\omega \right]+0.0005\omega \mathrm{Sin}\left[t\omega \right]\right)}{1-0.00002{\omega }^2+1.\times {10}^{-8}{\omega }^2\left(25.\text{}+0.010000000000000002{\omega }^2\right)}$

In[29]:=

$\mathrm{jannite}=\mathrm{E0}\mathrm{Sin}\left[\omega t\right]/.\mathrm{E0}\to 230$

Out[29]=

$230\mathrm{Sin}\left[t\omega \right]$

In[30]:=

$\mathrm{res}=1/\mathrm{Sqrt}\left[LC\right]/.\left\{L\to 0.1,C\to 0.0001,R->5.,\mathrm{E0}\to 230\right\}$

Out[30]=

$316.2277660168379$

In[31]:=

$\mathrm{Plot}\left[\mathrm{Evaluate}\left[\left\{\mathrm{jannite},\mathrm{numulkoinen}\right\}/.\omega \to \mathrm{res}\right],\left\{t,0,0.1\right\},\mathrm{PlotStyle}\to \left\{\mathrm{RGBColor}\left[0,0,0\right],\mathrm{RGBColor}\left[0,1,0\right]\right\}\right]$

Out[31]=

$⁃\mathrm{Graphics}⁃$

Kuviossa on jännite mustalla ja virta vihreällä.

Vastaava kuvio, kun kyseessä ei ole resonanssitaajuus:

In[32]:=

$\mathrm{Plot}\left[\mathrm{Evaluate}\left[\left\{\mathrm{jannite},\mathrm{numulkoinen}\right\}/.\omega \to 280\right],\left\{t,0,0.1\right\},\mathrm{PlotStyle}\to \left\{\mathrm{RGBColor}\left[0,0,0\right],\mathrm{RGBColor}\left[0,1,0\right]\right\}\right]$

Out[32]=

$⁃\mathrm{Graphics}⁃$

Tehtäviä

Tutki, miten alkuehtojen muuttaminen vaikuttaa ratkaisuun vaimentamattomassa tapauksessa. Miten ratkaisun luonne muuttuu, kun ollaan resonanssikohdan lähellä?

Piirrä kuvaaja, joka esittää vaimennetun tapauksen virtaa pakotteen taajuuden funktiona. Onko vaimennetun piirin tapauksessa sellainen ratkaisu mahdollinen, jossa virran amplitudi rajatta kasvaa, ts. piiri palaa?

Linkkejä

vaihtovirtapiirin pakotettu värähtely
epähomogeeninen vakiokertoiminen lineaariyhtälö

JP & SKK 08.05.2001

Created by Mathematica  (April 13, 2005)

virtap4.nb