virtap5.nb

Monisilmukkainen vaihtovirtapiiri

Otetaan tarkastelun kohteeksi RLC-vaihtovirtapiiri jossa on käämejä, vastuksia ja kondensaattoreita.

Kytkentä 1

Tarkastellaan virtapiiriä, jossa yksinkertaiseen RLC-piiriin on kodensaattorin rinnalle kytketty piiri, jossa on vastus ja toinen kondensaattori. Alla kuva piirin kokoonpanosta.

Piirin komponentit kohdistavat jännitteeseen kolme erilaista pudotusta,

$E_L=L\frac{dI\left(t\right)}{dt}\text{ käämin}\text{ yli},E_R=RI\mathrm{vastuksen}\text{ yli}\text{ sekä}$

$E_C=\frac{1}{C}\int I\left(t\right)dt\text{ kondensaattorin}\text{ yli}.$

Lisäksi piiriin syötetään sinimuotoista vaihtovirtaa E(t)=$E_0$ sin(ωt). Muodostetaan yllä olevalle piirille differentiaaliyhtälöt kiertämällä piiriä virtasilmukoiden $I_1$ ja $I_2$ muodostamia silmukoita myöden. Kirchhoffin lain mukaan molempien virtojen kulkiessa komponentin yli tapahtuu jännitteen muutos. Saadaan yhtälöt

$R_1{I}_1\left(t\right)+\frac{1}{C_1}\int \left(I_1\left(t\right)-I_2\left(t\right)\right)dt+L_1\frac{d{I}_1\left(t\right)}{dt}=E_0\sin \left(\right),\frac{1}{C_1}\int \left(I_2\left(t\right)-I_1\left(t\right)\right)dt+R_2{I}_2\left(t\right)+\frac{1}{C_2}\int I_2\left(t\right)dt=0.$

Jotta integraalitermeistä päästään eroon, yhtälöt derivoidaan:

$L_1\frac{d^2{I}_1\left(t\right)}{d{t}^2}+R_1\frac{d{I}_1\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{C_1}\left(I_1\left(t\right)-I_2\left(t\right)\right)=E_0\omega \cos \left(\right),\frac{1}{C_1}\left(I_2\left(t\right)-I_1\left(t\right)\right)+R_2\frac{d{I}_2\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{C_2}{I}_2\left(t\right)=0.$

Tämä on differentiaaliyhtälöryhmä pakotetulle värähtelylle. Ratkaistaan yhtälöt ja siten virrat virtasilmukoissa 1 ja 2.

Laskujen aluksi on syytä hävittää mahdollisista aiemmista laskuista jääneet muuttujat:

$\mathrm{Remove}\left[''Global`*''\right]$

Määritellään yhtälöryhmä ja sen tuntemattomat.

In[1]:=

$\mathrm{ryhma}=\left\{\mathrm{L1}\mathrm{i1}\text{''}\left[t\right]+\mathrm{R1}\mathrm{i1}\text{'}\left[t\right]+\left(\mathrm{i1}\left[t\right]-\mathrm{i2}\left[t\right]\right)/\mathrm{C1}⩵\mathrm{E0}\omega \mathrm{Cos}\left[\omega t\right],\left(\mathrm{i2}\left[t\right]-\mathrm{i1}\left[t\right]\right)/\mathrm{C1}+\mathrm{R2}\mathrm{i2}\text{'}\left[t\right]+\mathrm{i2}\left[t\right]/\mathrm{C2}==0\right\}$

Out[1]=

$\left\{\frac{\mathrm{i1}\left[t\right]-\mathrm{i2}\left[t\right]}{\mathrm{C1}}+\mathrm{R1}{\mathrm{i1}}^{\prime }\left[t\right]+\mathrm{L1}{\mathrm{i1}}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]⩵\mathrm{E0}\omega \mathrm{Cos}\left[t\omega \right],\frac{\mathrm{i2}\left[t\right]}{\mathrm{C2}}+\frac{-\mathrm{i1}\left[t\right]+\mathrm{i2}\left[t\right]}{\mathrm{C1}}+\mathrm{R2}{\mathrm{i2}}^{\prime }\left[t\right]⩵0\right\}$

In[2]:=

$\mathrm{tuntemattomat}=\left\{\mathrm{i1}\left[t\right],\mathrm{i2}\left[t\right]\right\}$

Out[2]=

$\left\{\mathrm{i1}\left[t\right],\mathrm{i2}\left[t\right]\right\}$

Sijoitetaan vakioille arvot ja asetetaan alkuehto. Kytkettävä lähde on verkkovirtalähde ja sitä ennen piirissä ei ollut virtaa.

In[3]:=

$\mathrm{ryhma1}=\mathrm{ryhma}/.\left\{\mathrm{L1}->0.1,\mathrm{R1}->5,\mathrm{C1}->0.001,\mathrm{R2}->3,\mathrm{C2}->0.0005,\mathrm{E0}->230,\omega ->2\mathrm{Pi}50\right\}$

Out[3]=

$\left\{1000.\left(\mathrm{i1}\left[t\right]-\mathrm{i2}\left[t\right]\right)+5{\mathrm{i1}}^{\prime }\left[t\right]+0.1{\mathrm{i1}}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]⩵23000\pi \mathrm{Cos}\left[100\pi t\right],2000.\mathrm{i2}\left[t\right]+1000.\left(-\mathrm{i1}\left[t\right]+\mathrm{i2}\left[t\right]\right)+3{\mathrm{i2}}^{\prime }\left[t\right]⩵0\right\}$

In[4]:=

$\mathrm{alkuehto}=\left\{\mathrm{i1}\left[0\right]==0,\mathrm{i1}\text{'}\left[0\right]==0,\mathrm{i2}\left[0\right]==0\right\}$

Out[4]=

$\left\{\mathrm{i1}\left[0\right]⩵0,{\mathrm{i1}}^{\prime }\left[0\right]⩵0,\mathrm{i2}\left[0\right]⩵0\right\}$

Ratkaistaan yhtälöryhmä numeerisin laskentamenetelmin ja sievennetään tulos.

In[5]:=

$\mathrm{rtk1}=\mathrm{NDSolve}\left[\mathrm{Flatten}\left[\left\{\mathrm{ryhma1},\mathrm{alkuehto}\right\}\right],\mathrm{tuntemattomat},\left\{t,0,1\right\},\mathrm{MaxSteps}->3000\right]$

$\mathrm{NDSolve}\text{::}\mathrm{mxst}:\text{Maximum number of}3000\text{steps reached at the point}t\text{==}0.6644178908387691\text{.}\mathrm{More\dots }$

Out[5]=

$\left\{\left\{\mathrm{i1}\left[t\right]\to \mathrm{InterpolatingFunction}\left[\left\{\left\{0.,0.6644178908387691\right\}\right\},<>\right]\left[t\right],\mathrm{i2}\left[t\right]\to \mathrm{InterpolatingFunction}\left[\left\{\left\{0.,0.6644178908387691\right\}\right\},<>\right]\left[t\right]\right\}\right\}$

In[6]:=

$\mathrm{virrat}=\mathrm{tuntemattomat}/.\mathrm{First}\left[\mathrm{rtk1}\right]$

Out[6]=

$\left\{\mathrm{InterpolatingFunction}\left[\left\{\left\{0.,0.6644178908387691\right\}\right\},<>\right]\left[t\right],\mathrm{InterpolatingFunction}\left[\left\{\left\{0.,0.6644178908387691\right\}\right\},<>\right]\left[t\right]\right\}$

Piirretään kuvaaja virralle piirin eri osissa. Sininen käyrä on jaetun kondensaattorin $C_1$ läpi kulkeva virta, vihreä käyrä on virtakierroksen 1 virta ja punainen virtakierroksen 2 virta.

In[7]:=

$\mathrm{Plot}\left[\mathrm{Evaluate}\left[\left\{\mathrm{virrat}\left[\left[1\right]\right]-\mathrm{virrat}\left[\left[2\right]\right],\mathrm{virrat}\left[\left[1\right]\right],\mathrm{virrat}\left[\left[2\right]\right]\right\}\right],\left\{t,0,\text{.2}\right\},\mathrm{PlotStyle}\to \left\{\mathrm{RGBColor}\left[0,0,1\right],\mathrm{RGBColor}\left[0,1,0\right],\mathrm{RGBColor}\left[1,0,0\right]\right\}\right]$

Out[7]=

$⁃\mathrm{Graphics}⁃$

Vaihtovirta näyttää jakautuvan hieman eri vaiheisena rinnakkaisten kondensaattorien kesken. Alkuehdon aikaansaama epävakaisuus näyttää vaimenevan varsin nopeasti.

Kytkentä 2

Tarkastellaan seuraavaksi RLC-virtapiiriä, jossa käämin rinnalle on kytketty sama vastus ja kondensaattori kuin edellä. Alla kuva piirin kokoonpanosta.

Huomaa virtakierrosten valinta! Mathematican funktio NDSolve ei nimittäin suoriudu piirin laskemisesta, mikäli käämin läpi kulkee useiden virtojen summa. Tällöin ohjelma ei osaa löytää sopivia alkuarvoja. Pyrimme siis pitämään yhtälöryhmän kertaluvun mahdollisimman alhaalla virtakierrosvalinnoilla. Kirchhoffin lain perusteella saatavat yhtälöt ovat derivoidussa muodossa

$L_1\frac{d^2{I}_1\left(t\right)}{d{t}^2}+R_1\frac{d\left(I_1\left(t\right)+I_2\left(t\right)\right)}{dt}+\frac{1}{C_1}\left(I_1\left(t\right)+I_2\left(t\right)\right)=E_0\omega \cos \left(\omega t\right),R_1\frac{d\left(I_1\left(t\right)+I_2\left(t\right)\right)}{dt}+\frac{1}{C_1}\left(I_1\left(t\right)+I_2\left(t\right)\right)+R_2\frac{d{I}_2\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{C_2}{I}_2\left(t\right)=E_0\omega \cos \left(\omega t\right).$

Muodostetaan yhtälöryhmä ja tuntemattomat:

In[8]:=

$\mathrm{ryhma}=\left\{\mathrm{L1}\mathrm{i1}\text{''}\left[t\right]+\mathrm{R1}\left(\mathrm{i1}\text{'}\left[t\right]+\mathrm{i2}\text{'}\left[t\right]\right)+\left(\mathrm{i1}\left[t\right]+\mathrm{i2}\left[t\right]\right)/\mathrm{C1}⩵\mathrm{E0}\omega \mathrm{Cos}\left[\omega t\right],\mathrm{R1}\left(\mathrm{i1}\text{'}\left[t\right]+\mathrm{i2}\text{'}\left[t\right]\right)+\left(\mathrm{i1}\left[t\right]+\mathrm{i2}\left[t\right]\right)/\mathrm{C1}+\mathrm{R2}\mathrm{i2}\text{'}\left[t\right]+\mathrm{i2}\left[t\right]/\mathrm{C2}⩵\mathrm{E0}\omega \mathrm{Cos}\left[\omega t\right]\right\}$

Out[8]=

$\left\{\frac{\mathrm{i1}\left[t\right]+\mathrm{i2}\left[t\right]}{\mathrm{C1}}+\mathrm{R1}\left({\mathrm{i1}}^{\prime }\left[t\right]+{\mathrm{i2}}^{\prime }\left[t\right]\right)+\mathrm{L1}{\mathrm{i1}}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]⩵\mathrm{E0}\omega \mathrm{Cos}\left[t\omega \right],\frac{\mathrm{i2}\left[t\right]}{\mathrm{C2}}+\frac{\mathrm{i1}\left[t\right]+\mathrm{i2}\left[t\right]}{\mathrm{C1}}+\mathrm{R2}{\mathrm{i2}}^{\prime }\left[t\right]+\mathrm{R1}\left({\mathrm{i1}}^{\prime }\left[t\right]+{\mathrm{i2}}^{\prime }\left[t\right]\right)⩵\mathrm{E0}\omega \mathrm{Cos}\left[t\omega \right]\right\}$

In[9]:=

$\mathrm{tuntemattomat}=\left\{\mathrm{i1}\left[t\right],\mathrm{i2}\left[t\right]\right\}$

Out[9]=

$\left\{\mathrm{i1}\left[t\right],\mathrm{i2}\left[t\right]\right\}$

Muodostetaan alkuehto ja annetaan vakioille arvot. Kytkettävä lähde on verkkovirtalähde ja sitä ennen piirissä ei ollut virtaa. Vakiot ovat samat kuin edellä.

In[10]:=

$\mathrm{ryhma2}=\mathrm{ryhma}/.\left\{\mathrm{L1}->0.1,\mathrm{R1}->5,\mathrm{C1}->0.001,\mathrm{R2}->3,\mathrm{C2}->0.0005,\mathrm{E0}->230,\omega ->2\mathrm{Pi}50\right\}$

Out[10]=

$\left\{1000.\left(\mathrm{i1}\left[t\right]+\mathrm{i2}\left[t\right]\right)+5\left({\mathrm{i1}}^{\prime }\left[t\right]+{\mathrm{i2}}^{\prime }\left[t\right]\right)+0.1{\mathrm{i1}}^{\mathrm{\prime \prime }}\left[t\right]⩵23000\pi \mathrm{Cos}\left[100\pi t\right],2000.\mathrm{i2}\left[t\right]+1000.\left(\mathrm{i1}\left[t\right]+\mathrm{i2}\left[t\right]\right)+3{\mathrm{i2}}^{\prime }\left[t\right]+5\left({\mathrm{i1}}^{\prime }\left[t\right]+{\mathrm{i2}}^{\prime }\left[t\right]\right)⩵23000\pi \mathrm{Cos}\left[100\pi t\right]\right\}$

In[11]:=

$\mathrm{alkuehto}=\left\{\mathrm{i1}\left[0\right]==0,\mathrm{i1}\text{'}\left[0\right]==0,\mathrm{i2}\left[0\right]==0\right\}$

Out[11]=

$\left\{\mathrm{i1}\left[0\right]⩵0,{\mathrm{i1}}^{\prime }\left[0\right]⩵0,\mathrm{i2}\left[0\right]⩵0\right\}$

Ratkaistaan yhtälöryhmä numeerisesti:

In[12]:=

$\mathrm{rtk2}=\mathrm{NDSolve}\left[\mathrm{Flatten}\left[\left\{\mathrm{ryhma2},\mathrm{alkuehto}\right\}\right],\mathrm{tuntemattomat},\left\{t,0,\text{.2}\right\}\right]$

Out[12]=

$\left\{\left\{\mathrm{i1}\left[t\right]\to \mathrm{InterpolatingFunction}\left[\left\{\left\{0.,0.2\right\}\right\},<>\right]\left[t\right],\mathrm{i2}\left[t\right]\to \mathrm{InterpolatingFunction}\left[\left\{\left\{0.,0.2\right\}\right\},<>\right]\left[t\right]\right\}\right\}$

Sievennetään saatu tulos.

In[13]:=

$\mathrm{virrat}=\mathrm{Flatten}\left[\mathrm{tuntemattomat}/.\mathrm{rtk2}\right]$

Out[13]=

$\left\{\mathrm{InterpolatingFunction}\left[\left\{\left\{0.,0.2\right\}\right\},<>\right]\left[t\right],\mathrm{InterpolatingFunction}\left[\left\{\left\{0.,0.2\right\}\right\},<>\right]\left[t\right]\right\}$

Yhtälöryhmän ratkaiseminen DSolve-komennolla on myös mahdollista, mutta tämän sieventämisessä joudutaan helposti vaikeuksiin. Yhdistelmää //Chop//Simplify//ComplexExpand//Chop kannattaa tällöin kokeilla.

Piirretään kuvaaja virralle piirin eri osissa. Sininen käyrä on jaetun käämin $L_1$ läpi kulkeva virta, punainen virtakierroksen 2 virta ja vihreä on näiden summavirta..

In[14]:=

$\mathrm{Plot}\left[\mathrm{Evaluate}\left[\left\{\mathrm{virrat}\left[\left[1\right]\right]+\mathrm{virrat}\left[\left[2\right]\right],\mathrm{virrat}\left[\left[1\right]\right],\mathrm{virrat}\left[\left[2\right]\right]\right\}\right],\left\{t,0,\text{.2}\right\},\mathrm{PlotStyle}\to \left\{\mathrm{RGBColor}\left[0,1,0\right],\mathrm{RGBColor}\left[0,0,1\right],\mathrm{RGBColor}\left[1,0,0\right]\right\}\right]$

Out[14]=

$⁃\mathrm{Graphics}⁃$

Tuloksesta näkyy, miten käämi pyrkii vastustamaan virran muutosta ja sen läpi kulkeva virta on hyvin vähäinen. Vastaavasti se indusoi jopa primääripiiriä voimakkaamman värähtelyn lisäyspiiriin.

Tehtävä

Tarkastellaan vielä alla kuvattua piiriä, jossa on samanaikaisesti molemmat edellä tarkastellut lisäkytkennät.

Muodosta kolmen differentiaaliyhtälön ryhmä yllä esitetylle piirille. Käytä apuna kuvaan piirrettyjä virtakierroksia. Piirrä kuvaajat virran kululle eri komponenteissa. Vihje: Olet oikeilla jäljillä, mikäli virtakierron 3 värähtely on vastakkaisvaiheista kiertojen 1 ja 2 kanssa.

Linkkejä

vaihtovirtapiirin pakotettu värähtely
epähomogeeninen vakiokertoiminen lineaariyhtälö
differentiaaliyhtälöryhmä

JP & SKK 09.05.2001

Created by Mathematica  (July 21, 2004)