Airyn differentiaaliyhtälö

Airyn differentiaaliyhtälö on hyvin yksinkertainen toisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyhtälö, joka kuitenkaan ei ole ratkaistavissa tavallisten alkeisfunktioiden avulla:

>	airyyht:= diff(y(x), x, x)-x*y(x)=0;

$\mathrm{airyyht}:=\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)-xy\left(x\right)=0$

>	ylrtk:= dsolve(airyyht, y(x));

$\mathrm{ylrtk}:=y\left(x\right)=\mathrm{\_C1}\mathrm{Ai}\left(x\right)+\mathrm{\_C2}\mathrm{Bi}\left(x\right)$

Maple  tuntee kuitenkin laajemman kokoelman funktioita, ja näiden avulla voidaan lausua sekä differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu että sen derivaatta.

>	diff(ylrtk,x);

$\frac{d}{dx}y\left(x\right)=\mathrm{\_C1}\mathrm{AiryAi}\left(1,x\right)+\mathrm{\_C2}\mathrm{AiryBi}\left(1,x\right)$

Kaksi lineaarisesti riippumatonta yksittäisratkaisua saadaan antamalla sopivat alkuehdot ja ratkaisemalla näistä vakiot. Aluksi yleinen ratkaisu määritellään funktioksi.

>	airy:= unapply(rhs(ylrtk), x);

>	vakiot:= solve({airy(0)=1, D(airy)(0)=0}, {_C1, _C2});

$\mathrm{vakiot}:=\left\{\mathrm{\_C2}=\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{2}{3}\right)\sqrt[6]{3},\mathrm{\_C1}=\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{2}{3}\right)3^{\frac{2}{3}}\right\}$

>	vakiot2:= solve({airy(0)=0, D(airy)(0)=1}, {_C1, _C2});

$\mathrm{vakiot2}:=\left\{\mathrm{\_C1}=-\frac{1}{3}\frac{\mathrm{\pi }{3}^{\frac{5}{6}}}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right)},\mathrm{\_C2}=\frac{1}{3}\frac{\mathrm{\pi }\sqrt[3]{3}}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right)}\right\}$

Saadut lausekkeet sisältävät uuden erikoisfunktion, gammafunktion. Tälle käytetään yleensä symbolia $\Gamma$  (kreikkalainen kirjain iso gamma).

Vakioita vastaavat yksittäisratkaisut ovat

>	rtk1:= subs(vakiot, airy(x));

$\mathrm{rtk1}:=\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{2}{3}\right)3^{\frac{2}{3}}\mathrm{Ai}\left(x\right)+\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{2}{3}\right)\sqrt[6]{3}\mathrm{Bi}\left(x\right)$

>	rtk2:= subs(vakiot2, airy(x));

$\mathrm{rtk2}:=-\frac{1}{3}\frac{\mathrm{\pi }{3}^{\frac{5}{6}}\mathrm{Ai}\left(x\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right)}+\frac{1}{3}\frac{\mathrm{\pi }\sqrt[3]{3}\mathrm{Bi}\left(x\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right)}$

Näiden kuvaajista on nähtävissä eräitä toisen kertaluvun homogeeniyhtälölle luonteenomaisia piirteitä:

>	plot({rtk1, rtk2}, x=-15..2);

>

Jos differentiaaliyhtälössä y '' + ky  = 0 vakio k  on positiivinen, kyseessä on vakiokertoiminen yhtälö, jonka ratkaisuna on , ts. sini-kosini-värähtely. Värähtelyn taajuus on sitä suurempi, mitä suurempi k  on. Negatiivisilla muuttujan x  arvoilla Airyn yhtälö on tämäntyyppinen: Yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon y '' + | x | y  = 0, ja sen ratkaisuna näyttää olevan värähtely, jonka taajuus kasvaa, kun | x | kasvaa.

Vastaavalla tavalla Airyn yhtälö voidaan rinnastaa positiivisilla muuttujan arvoilla yhtälöön y '' - ky  = 0, missä k  on positiivinen. Tämän ratkaisut muodostuvat eksponenttifunktioista: .

Kuvaajat näyttävät myös toisen kertaluvun homogeeniyhtälöiden ratkaisuille tyypillisen ominaisuuden: Jos kahdella lineaarisesti riippumattomalla ratkaisulla on nollakohtia, nämä vuorottelevat. Toisen ratkaisun kahden peräkkäisen nollakohdan välissä on täsmälleen yksi toisen ratkaisun nollakohta. Todistus perustuu Wronskin determinantin ominaisuuksiin.

Linkkejä