Eulerin yhtälön muuntaminen vakiokertoimiseksi

Maple a voidaan käyttää yleisen Eulerin yhtälön muuntamiseen vakiokertoimiseksi yhtälöksi sijoituksella $x=e^t$ . Seuraava esitys toimii periaatteessa mille tahansa kertaluvulle n . Jos n  > 20, alkaa laskenta kuitenkin vaatia varsin paljon resursseja.

Syötetään Eulerin yhtälön kertaluku ja muodostetaan yhtälö:

>

n:= 5;

$n:=5$

>	euleryht:= sum(a[k]*x^k*(D@@k)(y)(x), k=0..n)=0;

Sijoituksen seurauksena syntyy uusi tuntematon funktio $u\left(t\right)=y\left(e^t\right)$ . Funktiot y  ja u  toisiinsa sitova yhtälö talletetaan nimelle :

>	yht[0]:= u(t)=y(exp(t));

Tätä yhtälöä derivoidaan muuttujan t  suhteen n  kertaa, jotta saadaan vastaavat derivaattojen väliset yhtälöt; nämä kerätään listaksi:

>	yhtalot:= {seq(diff(yht[0], [t$k]), k=0..n)};

$\mathrm{yhtalot}:=\left\{u\left(t\right)=y\left(e^t\right),\frac{d}{dt}u\left(t\right)=\left(y^{\prime }\right)\left(e^t\right)e^t,\frac{d^5}{{dt}^5}u\left(t\right)={}^{\circ 5}\left(y\right)\left(e^t\right){\left(e^t\right)}^5+10{}^{\circ 4}\left(y\right)\left(e^t\right){\left(e^t\right)}^4+25{}^{\circ 3}\left(y\right)\left(e^t\right){\left(e^t\right)}^3+15\left(\circ \right)\left(y\right)\left(e^t\right){\left(e^t\right)}^2+\left(y^{\prime }\right)\left(e^t\right)e^t,\frac{d^4}{{dt}^4}u\left(t\right)={}^{\circ 4}\left(y\right)\left(e^t\right){\left(e^t\right)}^4+6{}^{\circ 3}\left(y\right)\left(e^t\right){\left(e^t\right)}^3+7\left(\circ \right)\left(y\right)\left(e^t\right){\left(e^t\right)}^2+\left(y^{\prime }\right)\left(e^t\right)e^t,\frac{d^3}{{dt}^3}u\left(t\right)={}^{\circ 3}\left(y\right)\left(e^t\right){\left(e^t\right)}^3+3\left(\circ \right)\left(y\right)\left(e^t\right){\left(e^t\right)}^2+\left(y^{\prime }\right)\left(e^t\right)e^t,\frac{d^2}{{dt}^2}u\left(t\right)=\left(\circ \right)\left(y\right)\left(e^t\right){\left(e^t\right)}^2+\left(y^{\prime }\right)\left(e^t\right)e^t\right\}$

Tuntemattomat, ts. funktion y  derivaatat kerätään omaksi listakseen; muuttujaksi otetaan t :

>	tuntemattomat:= {seq((D@@k)(y)(exp(t)), k=0..n)};

$\mathrm{tuntemattomat}:=\left\{{}^{\circ 3}\left(y\right)\left(e^t\right),\left(\circ \right)\left(y\right)\left(e^t\right),\left(y^{\prime }\right)\left(e^t\right),y\left(e^t\right),{}^{\circ 5}\left(y\right)\left(e^t\right),{}^{\circ 4}\left(y\right)\left(e^t\right)\right\}$

Jotta alkuperäinen differentiaaliyhtälö saadaan muunnetuksi funktiota u  koskevaksi, yhtälöryhmästä ratkaistaan funktion y  derivaatat ja sijoitetaan nämä differentiaaliyhtälöön; muuttujaksi otetaan t :

>	sij:= solve(yhtalot, tuntemattomat);

$\mathrm{sij}:=\left\{\left(y^{\prime }\right)\left(e^t\right)=\frac{\frac{d}{dt}u\left(t\right)}{e^t},{}^{\circ 3}\left(y\right)\left(e^t\right)=\frac{\frac{d^3}{{dt}^3}u\left(t\right)-3\left(\frac{d^2}{{dt}^2}u\left(t\right)\right)+2\left(\frac{d}{dt}u\left(t\right)\right)}{{\left(e^t\right)}^3},{}^{\circ 5}\left(y\right)\left(e^t\right)=\frac{\frac{d^5}{{dt}^5}u\left(t\right)-10\left(\frac{d^4}{{dt}^4}u\left(t\right)\right)+35\left(\frac{d^3}{{dt}^3}u\left(t\right)\right)-50\left(\frac{d^2}{{dt}^2}u\left(t\right)\right)+24\left(\frac{d}{dt}u\left(t\right)\right)}{{\left(e^t\right)}^5},{}^{\circ 4}\left(y\right)\left(e^t\right)=-\frac{-\frac{d^4}{{dt}^4}u\left(t\right)+6\left(\frac{d^3}{{dt}^3}u\left(t\right)\right)-11\left(\frac{d^2}{{dt}^2}u\left(t\right)\right)+6\left(\frac{d}{dt}u\left(t\right)\right)}{{\left(e^t\right)}^4},y\left(e^t\right)=u\left(t\right),\left(\circ \right)\left(y\right)\left(e^t\right)=-\frac{-\frac{d^2}{{dt}^2}u\left(t\right)+\frac{d}{dt}u\left(t\right)}{{\left(e^t\right)}^2}\right\}$

>	subs(x=exp(t), euleryht): vakiokertyht:= subs(sij, %): simplify(%);

Tällöin on saatu Eulerin yhtälöä vastaava vakiokertoiminen yhtälö. Jotta tämä hahmottuisi selkeämmin, termit kootaan funktion u  derivaattojen mukaan ryhmiteltyinä:

>	derivaatat:=[seq(diff(u(t), [t$k]), k=0..n)];

$\mathrm{derivaatat}:=\left[u\left(t\right),\frac{d}{dt}u\left(t\right),\frac{d^2}{{dt}^2}u\left(t\right),\frac{d^3}{{dt}^3}u\left(t\right),\frac{d^4}{{dt}^4}u\left(t\right),\frac{d^5}{{dt}^5}u\left(t\right)\right]$

>	ryhmitettyvakiokertyht:= collect(vakiokertyht, derivaatat);

Saadun yhtälön vasemmasta puolesta voidaan myös poimia eri derivaattojen kertoimet:

>	coeffs(lhs(ryhmitettyvakiokertyht), derivaatat);

>

Kertoimet ovat todellakin vakioita.

Linkkejä