Vakiokertoimisen lineaariyhtälön karakteristisen yhtälön useampikertaiset juuret

Kiinnitetään aluksi kolme vakiota.

Tarkastelun kohteena olkoon kertalukua n  oleva vakiokertoiminen homogeeninen differentiaaliyhtälö:

>

n:= 3;

$n:=3$

Tämän karakteristinen polynomi on myös astetta n . Polynomilla olkoon nollakohta r , jonka kertaluku on p  (<= n ):

>

p:= 2;

$p:=2$

Tarkoituksena on tutkia, onko $y=x^k{e}^{\mathrm{rx}}$  yhtälön ratkaisu, kun k  = 0, 1, 2, ..., q (luontevimmin q  >= p ):

>

q:= 3;

$q:=3$

Vakiokertoimisten yhtälöiden teorian mukaan näin pitäisi olla arvoon k  = p  - 1 saakka.

Differentiaaliyhtälö on

>	diffyht:= sum(a[k]*diff(y(x), [x$k]), k=0..n)=0;

Karakteristinen yhtälö saadaan sijoittamalla yhtälöön yrite $y=e^{\mathrm{rx}}$  ja jakamalla sijoittamisen jälkeen eksponenttitekijä pois. Samaan tulokseen päästään korvaamalla differentiaaliyhtälössä derivaatat vastaavilla muuttujan r  potensseilla:

>	seq(diff(y(x), [x$k])=r^k, k=0..n): karaktyht:= subs({%}, diffyht);

Luku r  on p -kertainen juuri, jos ja vain jos se on myös derivaattojen nollakohta kertalukuun p  - 1 saakka. Kertaluku voidaan siten karakterisoida seuraavilla ehdoilla:

>	ehdot:= seq(diff(karaktyht, [r$k]), k=0..p-1);

Sijoitetaan ratkaisut $y=x^k{e}^{\mathrm{rx}}$  (0 <= k  <= q ) differentiaaliyhtälöön ja tutkitaan, toteutuuko tämä, kun r  täyttää edellä asetetut ehdot:

>	subs(y(x)=x^k*exp(r*x), diffyht): sij:= seq(%, k=0..q): simplify({%});

>	simplify({sij}, {ehdot});

>

Yhtälön toteuttavia ratkaisuja näyttää todellakin olevan nollakohdan r  kertaluvun p  mukainen määrä, kuten teorian mukaan pitääkin.

Polynomiehtojen käsittelyyn symboliset laskentajärjestelmät kuten Maple  käyttävät ns. Gröbnerin kantoja . Probleeman monimutkaistuessa näiden käyttö tulee kuitenkin raskaaksi hyvin nopeasti. Vaikka edellä oleva lasku voidankin periaatteessa laskea millä tahansa arvoilla n , p , q  laskenta alkaa arvojen kasvaessa vaatia aikaa ja muistia todella paljon. Lukija kokeilkoon!

Linkkejä