Käyräparven differentiaaliyhtälön etsiminen

Olkoon annettuna käyräparvi

>	kayraparvi:= (x+_C1)^2+(y+_C2)^2=_C3^2;

$\mathrm{kayraparvi}:={\left(x+\mathrm{\_C1}\right)}^2+{\left(y+\mathrm{\_C2}\right)}^2={\mathrm{\_C3}}^2$

missä _ C1 , _ C2  ja _ C3  ovat parven parametrit. Jokaisella (ainakin lähes) näiden arvokombinaatiolla parvesta saatava yhtälö esittää tason ympyrää. Toisaalta tason jokaisen ympyrän yhtälö on tätä muotoa.

Tulkitaan y  funktioksi muuttujasta x  tavoitteena löytää differentiaaliyhtälö tälle funktiolle:

>	parvi:= subs(y=y(x), kayraparvi);

$\mathrm{parvi}:={\left(x+\mathrm{\_C1}\right)}^2+{\left(y\left(x\right)+\mathrm{\_C2}\right)}^2={\mathrm{\_C3}}^2$

Derivoidaan tämä yhtälö kolmesti, minkä jälkeen saaduista neljästä yhtälöstä eliminoidaan parametrit _ C1 , _ C2  ja _ C3 :

>	parvi1:=diff(parvi, x);

$\mathrm{parvi1}:=2x+2\mathrm{\_C1}+2\left(y\left(x\right)+\mathrm{\_C2}\right)\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right)=0$

>	parvi2:=diff(parvi, x$2);

$\mathrm{parvi2}:=2+2{\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right)}^2+2\left(y\left(x\right)+\mathrm{\_C2}\right)\left(\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)\right)=0$

>	parvi3:=diff(parvi, x$3);

$\mathrm{parvi3}:=6\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right)\left(\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)\right)+2\left(y\left(x\right)+\mathrm{\_C2}\right)\left(\frac{d^3}{{dx}^3}y\left(x\right)\right)=0$

>	ratk:= eliminate({parvi, parvi1, parvi2, parvi3}, {_C1, _C2, _C3});

$\mathrm{ratk}:=\left[\left\{\mathrm{\_C2}=-\frac{1+{\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right)}^2+\left(\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)\right)y\left(x\right)}{\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)},\mathrm{\_C1}=-\frac{x\left(\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)\right)-\frac{d}{dx}y\left(x\right)-{\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right)}^3}{\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)},\mathrm{\_C3}=\frac{\left\{x∋{\mathrm{\_Z}}^2-{\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right)}^2-1=0\right\}\left({\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right)}^2+1\right)}{\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)}\right\},\left\{3\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right){\left(\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)\right)}^2-\frac{d^3}{{dx}^3}y\left(x\right)-\left(\frac{d^3}{{dx}^3}y\left(x\right)\right){\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right)}^2\right\}\right]$

Eliminate -komento antaa listan, jonka viimeisenä alkiona on eliminoinnin tulos polynomin muodossa. Ratkaisu muunnetaan yhtälömuotoon merkitsemällä polynomi nollaksi.

>	diffyht:= op(ratk[-1])=0;

$\mathrm{diffyht}:=3\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right){\left(\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)\right)}^2-\frac{d^3}{{dx}^3}y\left(x\right)-\left(\frac{d^3}{{dx}^3}y\left(x\right)\right){\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right)}^2=0$

Tuloksena on kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö, jonka yleisenä ratkaisuna on alkuperäinen käyräparvi. Kyseessä on siten kaikkien tason ympyröiden differentiaaliyhtälö.

Saadulla differentiaaliyhtälöllä on kuitenkin muitakin ratkaisuja:

>	simplify(subs(y(x)=_D1*x+_D2, diffyht));

$3\frac{\partial }{\partial x}\left(\mathrm{\_D1}x+\mathrm{\_D2}\right){\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(\mathrm{\_D1}x+\mathrm{\_D2}\right)}^2-\frac{{\partial }^3}{\partial x^3}\left(\mathrm{\_D1}x+\mathrm{\_D2}\right)-\frac{{\partial }^3}{\partial x^3}\left(\mathrm{\_D1}x+\mathrm{\_D2}\right){\frac{\partial }{\partial x}\left(\mathrm{\_D1}x+\mathrm{\_D2}\right)}^2=0$

>

Linkkejä