Radioaktiivinen hajoaminen

Radioaktiivinen hajoaminen on ilmiö, jossa aktivoitunut, epästabiili atomiydin vapauttaa energiaansa $\alpha$ -, $\beta$ - tai $\mathrm{\gamma }$ -säteilyn kautta. Hiukkassäteilyn eli $\alpha$ - ja $\beta$ -säteilyn tapauksessa samalla muuttuu myös atomiytimen sisäinen kokoonpano. Tällaisen hajoamisen kautta alkuaine muuttuu toiseksi.

Erityisen paljon tutkittuja ovat ydinreaktorien polttoainesauvoihin jäävien radioaktiivisten aineiden hajoamisketjut. Polttoainesauvoista muodostuva pitkään radioaktiivinen jäte aiheuttaa huolestumista, koska sauvoissa olevien radioaktiivisten aineiden hajoaminen on niin hidasta, että säteilyongelma säilyy luonnollisen hajoamisen kautta akuuttina vuosituhansia. Tässä esimerkissä tarkastelemme radiumin  hajoamista sekä yksinkertaistettua radium  ytimen hajoamisketjua lyijyksi . Tämä ketju muodostaa loppuosan varsin tärkeästä  hajoamisketjusta.

Jokaiselle radioaktiiviselle atomiytimelle on olemassa tietty todennäköisyys sen hajoamiseen määrätyllä aikavälillä. Hajoamisen kautta syntyvien tytäratomien lukumäärä on siten suoraan verrannollinen aktiivisten atomiytimien lukumäärään. Niinpä voidaan määrittää radioaktiivinen hajoamislaki

$\frac{d}{dt}N=-\lambda N$ ,

missä N  on radioaktiivisten ytimien lukumäärä, t  on aika ja $\lambda$  radioaktiivinen hajoamisvakio, joka määrittää todennäköisyyden atomiytimen spontaanille hajoamiselle annetulla ajanhetkellä. Hajoamislain perusteella voidaan määrittää ns. puoliintumisaika , joka ilmoittaa sen aikayksikön, jossa puolet alkuperäisistä ytimistä on hajonnut. Integroimalla saadaan hajoamattomien ytimien lukumäärälle

,

jossa  on ydinten lukumäärä ajanhetkellä t  = 0. Ratkaisemalla N  = $\frac{1}{2}$     saadaan puoliintumisajalle . Tällöin hajoamislaille pätee

Yksinkertainen hajoamistilanne

Radium  on yksi väliydin pitkäaktiivisen :n hajoamisketjussa. :n puoliintumisaika on 5,75 vuotta kun se hajoaa lyhytaktiiviseksi -ytimeksi. Lasketaan kuinka paljon 100 kg:sta :sta on jäljellä 70 vuoden kuluttua.

Laskujen aluksi on syytä hävittää mahdollisista aiemmista laskuista jääneet muuttujat.

>

restart;

Ytimien hajoamista kuvaava differentiaaliyhtälö.

>	yht:= diff(n(t), t)=-lambda*n(t);

$\mathrm{yht}:=\frac{d}{dt}n\left(t\right)=-\lambda n\left(t\right)$

Alkuehdon määrittää tilanne, jossa on vain  ytimiä. Lasketaan ainemäärä suoraan kilogrammoissa.

>	alkuehto:= n(0)=100;

$\mathrm{alkuehto}:=n\left(0\right)=100$

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö.

>	rtk:= dsolve({yht, alkuehto}, n(t));

$\mathrm{rtk}:=n\left(t\right)=100e^{\left(-\lambda t\right)}$

Sijoitetaan hajoamisvakio. Käytetään aikayksikkönä vuosia.

>	ainemaara:= subs(lambda=log(2)/5.75, rhs(rtk));

$\mathrm{ainemaara}:=100e^{\left(-.1739130435\ln \left(2\right)t\right)}$

Piirretään kuvaaja ainemäärän kehitykselle ajan fuktiona 50 vuoden aikajaksolla.

>	plot(ainemaara, t=0..50);

70 vuoden jälkeen jäljelle jääneen ainemäärän paino kilogrammoissa selviää sijoittamalla ajaksi 70 vuotta.

>	jaljella:= subs(t=70, ainemaara): evalf(%);

$.2164148261e-1$

Tuloksena on siis 21,6 grammaa Radium :aa.

Hajoamisketju

Myös Radium  on väliydin :n hajoamisketjussa. Hajoamisketju  ytimestä eteenpäin sisältää useita lyhytaikaisia ja muutamia pitkäaikaisia väliytimiä ennen hajoamista pysyväksi lyijy-ytimeksi . Tarkastelemme nyt hajoamista väliytimet  ja ${\mathrm{Bi}}^{212}$  huomioiden. Puoliintumisajat ytimien hajoamisille ovat seuraavat:

Muodostetaan hajoamisketjua kuvaavat differentiaaliyhtälöt:

jossa  on -atomien lukumäärä ja  vastaavasti :n hajoamisvakio. Vastaavasti alaindeksi ' 2 ' viittaa :n, ' 3 ' ${\mathrm{Bi}}^{212}$ :n ja ' 4 ' :n vastaaviin suureisiin. Ratkaistaan hajoamisketjun differentiaaliyhtälöryhmä ja piirretään kuvaaja ytimien lukumäärille ajan suhteen.

Ytimien hajoamisia ja toisikseen muuttumista kuvaa seuraava normaaliryhmä.

>	ryhma1:= diff(n[1](t), t)=-lambda[1]*n[1](t), diff(n[2](t), t)=lambda[1]*n[1](t)-lambda[2]*n[2](t), diff(n[3](t), t)=lambda[2]*n[2](t)-lambda[3]*n[3](t), diff(n[4](t), t)=lambda[3]*n[3](t);

Ongelman tuntemattomat funktiot ovat ketjun eri alkuaineiden ydinten lukumäärät.

>	tuntemattomat1:= {n[1](t), n[2](t), n[3](t), n[4](t)};

Alkuehdon määrittää tilanne, jossa on $10000000000000000$  kpl  ytimiä (n. 3.72 × $\frac{1}{1000000}$  g):

>	alkuehto1:= n[1](0)=10^16, n[2](0)=0, n[3](0)=0, n[4](0)=0;

Ratkaistaan differentiaaliyhtälöryhmä ja sievennetään tulokset:

>	rtk1:= dsolve({ryhma1, alkuehto1}, tuntemattomat1): simplify(%);

>	maarat1:= subs(rtk1, [n[1](t), n[2](t), n[3](t), n[4](t)]):

Määritellään hajoamisvakiot:

>	lambda[1]:= log(2)/3.6; lambda[2]:= log(2)/(10.6/24); lambda[3]:= log(2)/(61/60/24);

Piirretään kuva ainemäärien muuttumisesta ajan funktiona. Tarkasteltavana aikavälinä käytetään yhtä kuukautta.

>	with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

>	display(plot(maarat1[1], t=0..30, color=red), plot(maarat1[2], t=0..30, color=green), plot(maarat1[3], t=0..30, color=blue), plot(maarat1[4], t=0..30, color=cyan));

>

Lähtöytimien  (punainen) hajoamisessa syntyy ensin vihreällä merkittyjä  ytimiä jotka nopeasti hajoavat sinisellä merkityiksi ${\mathrm{Bi}}^{212}$  ytimiksi. Niiden puoliintumisaika on kuitenkin niin lyhyt, että ne hajoavat hyvin nopeasti  ytimiksi. Jo viidentoista päivän kuluttua lähtöhetkestä on jäljellä lähinnä vain vakaita turkoosilla piirrettyjä  ytimiä. Eniten niiden syntymistä hidastaa lähtöytimien verrattain lyhyt puoliintumisaika.

Tehtävä

Testaa puoliintumisajan vaikutusta radioaktiivisessa hajoamisessa. Mikäli puolitat :n puoliintumisajan, kuinka paljon vähemmän ytimiä on jäljellä 4 puoliintumisajan jälkeen verrattuna todelliseen tilanteeseen?