Alkuehtoa vastaavan yksittäisratkaisun etsiminen

Muodostamalla ensin yleinen ratkaisu

Olkoon annettuna differentiaaliyhtälö alkuehtoineen:

>	diffyht:= x^2*diff(y(x), x, x)-3*x*diff(y(x), x)+4*y(x)=x^3;

$\mathrm{diffyht}:=x^2\left(\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)\right)-3x\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right)+4y\left(x\right)=x^3$

>	ehto1:= y(2)=3;

$\mathrm{ehto1}:=y\left(2\right)=3$

>	ehto2:= D(y)(2)=4;

$\mathrm{ehto2}:=\left(y^{\prime }\right)\left(2\right)=4$

Yleinen ratkaisu saadaan dsolve -komennolla.

>	ratkaisu:= dsolve(diffyht, y(x));

$\mathrm{ratkaisu}:=y\left(x\right)=x^2\mathrm{\_C2}+x^2\ln \left(x\right)\mathrm{\_C1}+x^3$

Määritellään ratkaisu funktioksi Y( x ). Tällöin vakiot _ C1  ja _ C2  saadaan ratkaistua tekemällä ensin merkkikorvaus y -> Y  edellä annetuille ehdoille ja käyttämällä niitä solve -komennon argumentteina.

>	Y:= unapply(rhs(ratkaisu), x);

>	subs(y=Y, {ehto1, ehto2}): C12:= solve(%, {_C1, _C2});

$\mathrm{C12}:=\left\{\mathrm{\_C2}=\frac{3}{2}\ln \left(2\right)-\frac{5}{4},\mathrm{\_C1}=\frac{-3}{2}\right\}$

Sijoittamalla vakiot yleiseen ratkaisuun saadaan alkuehtoa vastaava yksittäisratkaisu:

>	y0:= subs(C12, rhs(ratkaisu));

$\mathrm{y0}:=x^2\left(\frac{3}{2}\ln \left(2\right)-\frac{5}{4}\right)-\frac{3}{2}{x}^2\ln \left(x\right)+x^3$

Tämä toteuttaa differentiaaliyhtälön ja alkuehdot:

>	subs(y(x)=y0, {diffyht}): simplify(%);

$\left\{x^3=x^3\right\}$

>	subs(x=2, y0);

$3$

>	subs(x=2, diff(y0,x));

$4$

Ratkaisemalla suoraan dsolve-komennolla

Alkuehdot voidaan yhtälön ohella antaa dsolve -komennolle, jolloin yksittäisratkaisu saadaan suoraan:

>	ratkaisu:= dsolve({diffyht, y(2)=3, D(y)(2)=4}, y(x)): simplify(%);

$y\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2\left(6\ln \left(2\right)-5-6\ln \left(x\right)+4x\right)$

>

Linkkejä