Usean yhtälön ryhmän ratkaiseminen yhteen yhtälöön palauttamalla

Olkoon tarkasteltavana kolmen differentiaaliyhtälön normaalimuotoinen ryhmä, jossa tuntemattomina funktioina ovat x( t ), y( t ) ja z( t ):

>	dy1:= diff(x(t), t)=x(t)+y(t)-z(t)+1; dy2:= diff(y(t), t)=-x(t)+5*y(t)+z(t)+t; dy3:= diff(z(t), t)=-2*x(t)+2*y(t)+4*z(t)+t^2;

$\mathrm{dy1}:=\frac{d}{dt}x\left(t\right)=x\left(t\right)+y\left(t\right)-z\left(t\right)+1$

$\mathrm{dy2}:=\frac{d}{dt}y\left(t\right)=-x\left(t\right)+5y\left(t\right)+z\left(t\right)+t$

$\mathrm{dy3}:=\frac{d}{dt}z\left(t\right)=-2x\left(t\right)+2y\left(t\right)+4z\left(t\right)+t^2$

>	funktiot:= [x(t), y(t), z(t)];

$\mathrm{funktiot}:=\left[x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right]$

Ryhmä pyritään ratkaisemaan eliminoimalla ensin yhtälöistä funktiot x  ja y , jolloin saadaan yksinomaan funktiota z  koskeva differentiaaliyhtälö. Tätä varten kaksi ensimmäistä yhtälöä derivoidaan kerran ja viimeinen yhtälö kaksi kertaa, jolloin saadaan kaikkiaan seitsemän yhtälöä:

>	dy4:= diff(dy1, t): dy5:= diff(dy2, t): dy6:= diff(dy3, t): dy7:= diff(dy3, t$2): dy1, dy2, dy3, dy4, dy5, dy6, dy7;

$\frac{d}{dt}x\left(t\right)=x\left(t\right)+y\left(t\right)-z\left(t\right)+1,\frac{d}{dt}y\left(t\right)=-x\left(t\right)+5y\left(t\right)+z\left(t\right)+t,\frac{d}{dt}z\left(t\right)=-2x\left(t\right)+2y\left(t\right)+4z\left(t\right)+t^2,\frac{d^2}{{dt}^2}x\left(t\right)=\frac{d}{dt}x\left(t\right)+\frac{d}{dt}y\left(t\right)-\frac{d}{dt}z\left(t\right),\frac{d^2}{{dt}^2}y\left(t\right)=-\frac{d}{dt}x\left(t\right)+5\left(\frac{d}{dt}y\left(t\right)\right)+\frac{d}{dt}z\left(t\right)+1,\frac{d^2}{{dt}^2}z\left(t\right)=-2\left(\frac{d}{dt}x\left(t\right)\right)+2\left(\frac{d}{dt}y\left(t\right)\right)+4\left(\frac{d}{dt}z\left(t\right)\right)+2t,\frac{d^3}{{dt}^3}z\left(t\right)=-2\left(\frac{d^2}{{dt}^2}x\left(t\right)\right)+2\left(\frac{d^2}{{dt}^2}y\left(t\right)\right)+4\left(\frac{d^2}{{dt}^2}z\left(t\right)\right)+2$

Kuudesta ensimmäisestä yhtälöstä voidaan ratkaista funktiot x  ja y  derivaattoineen ja tämän jälkeen sijoittaa lausekkeet perättäin viimeiseen yhtälöön.

Määritellään ensin tuntemattomat:

>	tuntemattomat:=[diff(y(t), t, t), diff(x(t), t, t), diff(x(t), t), diff(y(t), t), y(t), x(t)];

$\mathrm{tuntemattomat}:=\left[\frac{d^2}{{dt}^2}y\left(t\right),\frac{d^2}{{dt}^2}x\left(t\right),\frac{d}{dt}x\left(t\right),\frac{d}{dt}y\left(t\right),y\left(t\right),x\left(t\right)\right]$

Ratkaistaessa Maple n solve -komennolla ei ole mahdollista ratkaista derivaattojen suhteen, jos derivaatasta esiintyy useampia kertalukuja. Tämä voidaan ohittaa korvaamalla derivaatta- ja funktiomerkinnät väliaikaisilla muuttujilla.

>	d2m:= zip((x, y)->x=y, tuntemattomat, [seq(d[k], k=1..6)]): m2d:= zip((x, y)->x=y, [seq(d[k], k=1..6)], tuntemattomat):

>	subs(d2m, [{dy1, dy2, dy3, dy4, dy5, dy6}, tuntemattomat]): solve(%[1], {%[2][]}): elimsij:= subs(m2d, %);

$\mathrm{elimsij}:=\left\{\frac{d}{dt}x\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{d^2}{{dt}^2}z\left(t\right)\right)-\frac{7}{2}\left(\frac{d}{dt}z\left(t\right)\right)+3z\left(t\right)+\frac{3}{2}{t}^2+2-2t,\frac{d^2}{{dt}^2}y\left(t\right)=\frac{9}{2}\left(\frac{d^2}{{dt}^2}z\left(t\right)\right)-23\left(\frac{d}{dt}z\left(t\right)\right)+12z\left(t\right)+6t^2+9-13t,\frac{d}{dt}y\left(t\right)=\frac{d^2}{{dt}^2}z\left(t\right)-\frac{11}{2}\left(\frac{d}{dt}z\left(t\right)\right)+3z\left(t\right)+\frac{3}{2}{t}^2+2-3t,y\left(t\right)=-\frac{3}{2}\left(\frac{d}{dt}z\left(t\right)\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{d^2}{{dt}^2}z\left(t\right)\right)+z\left(t\right)+\frac{1}{2}{t}^2+\frac{1}{2}-t,\frac{d^2}{{dt}^2}x\left(t\right)=\frac{3}{2}\left(\frac{d^2}{{dt}^2}z\left(t\right)\right)-10\left(\frac{d}{dt}z\left(t\right)\right)+6z\left(t\right)+3t^2+4-5t,x\left(t\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{d^2}{{dt}^2}z\left(t\right)\right)-2\left(\frac{d}{dt}z\left(t\right)\right)+3z\left(t\right)+t^2+\frac{1}{2}-t\right\}$

>	dy:= subs(elimsij, dy7);

$\mathrm{dy}:=\frac{d^3}{{dt}^3}z\left(t\right)=10\left(\frac{d^2}{{dt}^2}z\left(t\right)\right)-26\left(\frac{d}{dt}z\left(t\right)\right)+12z\left(t\right)+6t^2+12-16t$

Tuloksena on kolmannen kertaluvun yhtälö funktiolle z . Tämä voidaan löytää myös hieman suorempaan käyttämällä Maple n eliminate -komentoa. Myös eliminate -komennon käyttö vaatii edellä esitellyt korvaustoimenpiteet.

>	subs(d2m, [{dy1, dy2, dy3, dy4, dy5, dy6, dy7}, tuntemattomat]): eliminate(%[1], {%[2][]}): op(subs(m2d, %)[-1])=0;

$10\left(\frac{d^2}{{dt}^2}z\left(t\right)\right)-\frac{d^3}{{dt}^3}z\left(t\right)-16t-26\left(\frac{d}{dt}z\left(t\right)\right)+12z\left(t\right)+12+6t^2=0$

Yhtälön ratkaisuksi saadaan

>	zratk:= dsolve(dy, z(t));

$\mathrm{zratk}:=z\left(t\right)=\frac{-71}{36}-\frac{5}{6}t-\frac{1}{2}{t}^2+\mathrm{\_C1}{e}^{\left(6t\right)}+\mathrm{\_C2}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}+\mathrm{\_C3}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}$

Yhtälöryhmän yleinen ratkaisu muodossa x( t ), y( t ), z( t ) saadaan tätä ja aiempia lausekkeita käyttäen:

>	subs(elimsij, funktiot): ylratk:= subs(zratk, %): simplify(%);

$\left[-4-\mathrm{\_C2}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\mathrm{\_C2}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}+\mathrm{\_C3}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\mathrm{\_C3}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}-\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}{t}^2,\frac{-17}{36}-\frac{1}{3}t+\mathrm{\_C1}{e}^{\left(6t\right)}-\frac{1}{2}\mathrm{\_C2}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}-\frac{1}{2}\mathrm{\_C2}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\mathrm{\_C3}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}+\frac{1}{2}\mathrm{\_C3}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2},\frac{-71}{36}-\frac{5}{6}t-\frac{1}{2}{t}^2+\mathrm{\_C1}{e}^{\left(6t\right)}+\mathrm{\_C2}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}+\mathrm{\_C3}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}\right]$

Tiettyä alkuehtoa vastaavat vakioiden arvot saadaan tämän jälkeen tavalliseen tapaan ratkaisemalla algebrallinen yhtälöryhmä. Olkoon alkuehtona x(0) = 1, y(0) = -2, z(0) = 3. Tällöin

>	subs(t=0, ylratk): vakiot:= solve({%[1]=1, %[2]=-2, %[3]=3}, {_C1, _C2, _C3}): simplify(%);

$\left\{\mathrm{\_C1}=\frac{-43}{252},\mathrm{\_C3}=\frac{17}{28}\sqrt{2}+\frac{18}{7},\mathrm{\_C2}=\frac{18}{7}-\frac{17}{28}\sqrt{2}\right\}$

Vastaava yksittäisratkaisu saadaan sijoittamalla vakioiden arvot yleiseen ratkaisuun:

>	yksittratk:= subs(vakiot, ylratk): simplify(%);

$\left[-4-\frac{23}{8}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{5}{2}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}+\frac{23}{8}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{5}{2}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}-\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}{t}^2,\frac{-17}{36}-\frac{1}{3}t-\frac{43}{252}{e}^{\left(6t\right)}-\frac{19}{28}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}-\frac{55}{56}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{55}{56}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}-\frac{19}{28}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)},\frac{-71}{36}-\frac{5}{6}t-\frac{1}{2}{t}^2-\frac{43}{252}{e}^{\left(6t\right)}+\frac{18}{7}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}-\frac{17}{28}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{17}{28}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{18}{7}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}\right]$

Ratkaisujen kuvaajat:

>	plot(yksittratk, t=0..1, view=[0..1, -20..20], color=red);

Edellä oleva esitys kuvaa, miten eliminointiprosessi ja yhtälöryhmän ratkaiseminen tapahtuu. Jos tavoitteena on ainoastaan saada tietyn alkuarvoprobleeman ratkaisu, päästään paljon vähemmällä kohdistamalla Maple n dsolve -funktio suoraan alkuperäiseen yhtälöryhmään ja alkuehtoon:

>	suoraratk:= dsolve({dy1, dy2, dy3, x(0)=1, y(0)=-2, z(0)=3},funktiot): simplify(%);

$\left\{y\left(t\right)=\frac{-17}{36}-\frac{1}{3}t-\frac{43}{252}{e}^{\left(6t\right)}-\frac{19}{28}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}-\frac{55}{56}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{55}{56}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}-\frac{19}{28}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)},x\left(t\right)=-4-\frac{23}{8}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{5}{2}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}+\frac{23}{8}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{5}{2}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}-\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}{t}^2,z\left(t\right)=\frac{-71}{36}-\frac{5}{6}t-\frac{1}{2}{t}^2-\frac{43}{252}{e}^{\left(6t\right)}+\frac{18}{7}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}-\frac{17}{28}{e}^{\left(\left(2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{17}{28}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}\sqrt{2}+\frac{18}{7}{e}^{\left(-\left(-2+\sqrt{2}\right)t\right)}\right\}$

Eri tavoilla saadut ratkaisut ovat todellakin samat:

>	subs(suoraratk, [x(t), y(t), z(t)]): zip((x, y)->simplify(x-y), %, yksittratk);

$\left[0,0,0\right]$

>

Linkkejä