Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Maplella algebrallisesti

Maplessa on käytettävissä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen komento dsolve . Tämä saa kaksi argumenttia: ratkaistava yhtälö ja tuntematon funktio. Suositeltava käytäntö on tallettaa yhtälö aluksi jollekin nimelle ja käyttäÂä tätä dsolve -komennon argumenttina:

>	diffyht:= x^2*diff(y(x), x, x)-x*diff(y(x), x)+y(x)=0;

$\mathrm{diffyht}:=x^2\left(\frac{d^2}{{dx}^2}y\left(x\right)\right)-x\left(\frac{d}{dx}y\left(x\right)\right)+y\left(x\right)=0$

>	ratkaisu:= dsolve(diffyht, y(x));

$\mathrm{ratkaisu}:=y\left(x\right)=\mathrm{\_C1}x+\mathrm{\_C2}x\ln \left(x\right)$

Yhtälön voi luonnollisesti kirjoittaa dsolve -komentoon suoraankin:

>	ratkaisu:= dsolve(x^2*diff(y(x), x, x)-x*diff(y(x), x)+y(x)=0, y(x));

$\mathrm{ratkaisu}:=y\left(x\right)=\mathrm{\_C1}x+\mathrm{\_C2}x\ln \left(x\right)$

Ratkaisu antaa funktion y( x ) lausekkeen sijoitussäÂännön muodossa joukkona. Kukin joukon alkio on jokin yhtälön ratkaisuksi kelpaava lauseke. Tässä ratkaisulausekkeita on kuitenkin vain yksi, yhtälön yleinen ratkaisu. MäÂäräÂämättömät vakiot ovat muodossa _ C1 , _ C2  jne.

Jotta ratkaisun lauseketta voitaisiin helposti käyttäÂä, se kannattaa tallettaa jollekin nimelle:

>	yleinenratkaisu:= subs(ratkaisu, y(x));

$\mathrm{yleinenratkaisu}:=\mathrm{\_C1}x+\mathrm{\_C2}x\ln \left(x\right)$

(Lausekkeeseen y( x ) siis tehdäÂän ratkaisun antaman sijoitussäÂännön mukainen sijoitus ja tulos talletetaan nimelle yleinenratkaisu .)

Tästä saadaan yksittäisratkaisu sijoittamalla vakioille jotkin arvot, minkä jälkeen voidaan vaikkapa piirtäÂä kuvaaja:

>	yksittaisratkaisu:= subs({_C1=2, _C2=-1}, yleinenratkaisu);

$\mathrm{yksittaisratkaisu}:=2x-x\ln \left(x\right)$

>	plot(yksittaisratkaisu, x=0.1..5);

Yleinen ratkaisu funktiona

Ratkaisu voidaan myös mäÂäritellä funktioksi, jolloin sitä voidaan käyttäÂä kuten mitä tahansa funktiota.

>	yr:= unapply(yleinenratkaisu, x);

>

yr(t);

$\mathrm{\_C1}t+\mathrm{\_C2}t\ln \left(t\right)$

>

yr(2);

$2\mathrm{\_C1}+2\mathrm{\_C2}\ln \left(2\right)$

>	diff(yr(t), t);

$\mathrm{\_C1}+\mathrm{\_C2}\ln \left(t\right)+\mathrm{\_C2}$

Alkuarvoprobleeman ratkaisu

Komennolla dsolve  voidaan myös ratkaista alkuarvoprobleema, jolloin differentiaaliyhtälö ja alkuehdot on annettava joukkona.

>	ratkaisu:= dsolve({diffyht, y(1)=2, D(y)(1)=5}, y(x));

$\mathrm{ratkaisu}:=y\left(x\right)=2x+3x\ln \left(x\right)$

Differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisu

Dsolve -komennon ensimmäisenä argumenttina voi olla myös useamman differentiaaliyhtälön ja mahdollisten alkuehtojen muodostama joukko, jolloin sitä voidaan käyttäÂä yhtälöryhmien ratkaisemiseen. Toisessa argumentissa tulee tällöin olla tuntemattomien funktioiden muodostama joukko.

>	ratkaisu:= dsolve({diff(x(t), t)=4*x(t)-2*y(t), diff(y(t), t)=x(t)+y(t), x(0)=3, y(0)=2}, {x(t), y(t)});

$\mathrm{ratkaisu}:=\left\{x\left(t\right)=e^{\left(2t\right)}+2e^{\left(3t\right)},y\left(t\right)=e^{\left(2t\right)}+e^{\left(3t\right)}\right\}$

>

Aina ei onnistu

DSolve -komento ei onnistu ratkaisemaan läheskäÂän kaikkia differentiaaliyhtälöitä; kaikkihan eivät ole alkeisfunktioiden tai edes ns. erikoisfunktioiden avulla ratkaistavissakaan. Se ei kuitenkaan ratkaise edes kaikkia sellaisia, jotka ovat käsin laskemalla suhteellisen helposti ratkaistavissa. Toisaalta työläissä tehtävissä se on korvaamaton apuväline.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on vaikea tehtävä ja tietokonealgebrassa käytetyistä algoritmeista tulee herkästi monimutkaisia. Tällaisina ne ovat myös alttiita virheille eikä tuloksiin siten pidä sokeasti luottaa. Ohjelmistot kehittyvät versio versiolta. Uudempi versio ratkaisee yleensä aina useampia yhtälöitä kuin edellinen — ja tekee virheitä eri paikoissa kuin edellinen.

Miten Maple ratkaisee?

Dsolve-komennon toimintaa ratkaisun aikana on mahdollista seurata komennolla infolevel[dsolve]:=3 . Oletusarvoisesti infolevel -arvo on 0 . Vastaavasti voidaan seurata myös minkä tahansa muun komennon toimintaa.

Linkkejä