Värähtelevä jousi

Jousen puristumista ja venymistä voidaan kuvata varsin yksinkertaisella matemaattisella mallilla. Kun jousi poikkeutetaan tasapainoasemastaan, se pyrkii palautumaan tasapainoasemaan jousivoiman  vaikutuksesta. Tälle ns. harmoniselle  voimalle pätee

F ( x ) = - kx ,

missä x  on jousen poikkeama tasapainoasemasta ja k  jouselle tyypillinen jousivakio. Jos toisaalta huomioidaan voima jousisysteemiin aiheuttava kiihtyvyys, saadaan Newtonin lain avulla

F( x ) = $m\left(\frac{d^2}{{dt}^2}x\right)=-kx$ ,

missä m  on jouseen kiinnitetty massa. Näin on saatu jousen differentiaaliyhtälö.

Yhtälö pätee myös esimerkiksi katosta jousen varassa ripustetulle kappaleelle. Tulee kuitenkin huomata, että kyseinen malli pätee vain pienille poikkeamille x  eikä se lainkaan mallinna poikittaista liikettä tai jousessa syntyvää kiertymää.

Otetaan tarkastelun kohteeksi oheisen kuvion mukainen systeemi, jossa kappale massaltaan m on liitetty kattoon jousella, jonka jousivakio on k . Jousi voi liikkua vain pystysuorassa sunnassa.

Laskujen aluksi on syytä hävittää mahdollisista aiemmista laskuista jääneet muuttujat.

>

restart;

Kappaleen pystysuora paikkakoordinaatti x  ilmoitetaan poikkeamana lepotilasta, ylöspäin positiivisena ja alaspäin negatiivisena. Systeemin liikeyhtälö on Newtonin lain mukainen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö:

>	yht:= m*diff(x(t), t$2)+k*x(t)=0;

$\mathrm{yht}:=m\left(\frac{d^2}{{dt}^2}x\left(t\right)\right)+kx\left(t\right)=0$

Systeemiä tarkastellaan siten, että kappale sysätään hetkellä t = 0 liikkeelle lepotilasta antamalla sille alkunopeus.

>	alkuehdot:= x(0)=0, D(x)(0)=10;

$\mathrm{alkuehdot}:=x\left(0\right)=0,\left(x^{\prime }\right)\left(0\right)=10$

Saatu differentiaaliyhtälö ratkaistaan Maple n   dsolve -komennolla.

>	rtk:= dsolve({yht, alkuehdot}, x(t));

$\mathrm{rtk}:=x\left(t\right)=10\frac{\sqrt{m}\sin \left(\frac{\sqrt{k}t}{\sqrt{m}}\right)}{\sqrt{k}}$

Massa joutuu sinimuotoiseen värähtelyliikkeeseen. Piirretään kuvaaja sijoittamalla ensin arvot massalle ja jousivakiolle.

>	rata1:=subs({k=1, m=1}, rtk);

$\mathrm{rata1}:=x\left(t\right)=10\sin \left(t\right)$

>	plot(rhs(rata1), t=0..4*Pi);

Tehdään animaatio värähtelylle. Seuraava koodi määrittelee kappaleen liikkeen animoinnissa tarvittavat työkalut. Kysessä on Maple lla kirjoitettu ohjelmakoodi.

>	with(plots): with(plottools):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the name arrow has been redefined

>

jousi:= proc(ala, yla, paa, jaksot)   local ampl, jakso;   ampl:= 3;   jakso:= (yla-ala-2*paa)/jaksot;   plot(     [[ampl*sin(2*Pi*r/jakso),       r+ala+paa, r=0..jaksot*jakso],     [0, ala+r, r=0..paa],     [0, yla-r, r=0..paa]], color=black); end: kappale:= proc(hor, lev, kor) rectangle([-0.5*lev, hor+0.5*kor],   [0.5*lev, hor-0.5*kor], color=gray) end: varahtelija:= proc(y0, t0)   local lev, kor, paa, lepo, y1;   lev:= 20; kor:= 10; paa:= 5; lepo:= 50;   y1:= -lepo+subs(t=t0/(2*Pi), subs(y0,x(t)));   display(     rectangle([-50, 0], [50, 5], color=gray),     kappale(y1, lev, kor),            jousi(y1+kor/2, 0, 5, 5)); end:

Animaatio on lista peräkkäisiä kuvia, jotka on ensin laskettava. Animaatio käynnistyy viemällä hiiren osoitin kuvan päälle ja valitsemalla hiiren oikealla napilla esiin tulevasta valikosta A n imation  -> P l ay . Animaatiosta saa jatkuvan valitsemalla em. valikosta A n imation  -> C ontinuous .

>	display(seq(varahtelija(rata1, u), u=0..39), insequence=true, axes=none, scaling=constrained);

>

Tehtävä

Tarkastele erisuuruisten massojen käyttäytymistä jousen varassa. Millä tavalla massan muuttaminen vaikuttaa syntyvään värähtelyyn? Entä jos muutamme myös alussa annettua nopeutta siten, että värähtelyn energia pysyy vakiona?

Linkkejä