Sykloidi

Ympyrään — tai lieriöön — kiinnitetään sen keskipisteestä alkava ulospäin osoittava varsi, joka kiertyy mukana ympyrän vieriessä vaakasuoralla alustalla. Varteen kiinnitetään piste, joka voi sijaita joko ympyrän kehällä, sen sisäpuolella tai ulkopuolella. Ympyrän vieriessä piste piirtää käyrän, jota sanotaan sykloidiksi. Jos piirtävä piste ei sijaitse vierivän ympyrän kehällä, voidaan myös käyttää nimitystä trokoidi.

Alla olevassa havainnollistuksessa ympyrä saadaan vierimään siirtämällä hiirellä sen punaista keskipistettä. Piirtävän pisteen etäisyyttä keskipisteestä voidaan muuttaa siirtämällä kuvion alapuolella olevan säätöjanan punaista pistettä.

Sykloidin parametriesitys on


missä r on vierivän ympyrän säde ja d käyrää piirtävän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä. Käyräparametrin t jokaista arvoa vastaten saadaan yksi käyrän piste.

Harjoitustehtäviä

  1. Missä tapauksessa a) sykloidilla on kärkiä, b) sykloidi leikkaa itsensä?
  2. Johda sykloidin parametriesitys.
  3. Jos d < r, sykloidi määrittää funktion y = f(x). Miten tämän derivaatta voidaan laskea?
Simo K. Kivelä  18.1.2005 Pohjana LiveGraphics3D