Sykloidi — ympyrätapaus

Ympyrä vierii liukumatta toisen, kiinteän ympyrän ulkopuolella tai sisäpuolella. Vierivän ympyrän keskipisteestä lähtee varsi, joka pyörii ympyrän mukana ja jolle on kiinnitetty piste. Piste voi sijaita vierivän ympyrän kehällä, sisä- tai ulkopuolella.

Ympyrän vieriessä piste piirtää käyrän, jota kutsutaan sykloidiksi. Jos vierivä ympyrä on kiinteän ympyrän sisäpuolella, puhutaan hyposykloidista, jos ulkopuolella, niin episykloidista. Jos käyrää piirtävä piste ei sijaitse vierivän ympyrän kehällä, voidaan sykloidin sijasta käyttää myös nimitystä trokoidi.

Sykloidille voidaan johtaa parametrimuotoiset yhtälöt:


      

Tässä R on kiinteän ympyrän säde, r vierivän ympyrän säde, d käyrää piirtävän pisteen etäisyys vierivän ympyrän keskipisteestä ja t käyräparametri. Jos r on positiivinen, syntyy episykloidi, jos negatiivinen, niin hyposykloidi.

Alla on Java-sovelma (applet), jolla voidaan piirtää sykloideja. Kuviota hallitaan sen alapuolella olevien säätöjanojen avulla. Kiinteän ympyrän säde on R = 1. Vierivän ympyrän sädettä r ja piirtävän pisteen etäisyyttä d voidaan muuttaa. Ympyrän vierimisliike saadaan aikaan muuttamalla käyräparametrin t arvoa.

Harjoitustehtäviä

  1. Millainen pitää vierivän ympyrän säteen olla, jotta sykloidi sulkeutuisi yhdellä kierroksella?
  2. Millainen pitää vierivän ympyrän säteen olla, jotta sykloidi sulkeutuisi jonkin täyden kierrosmäärän jälkeen?
  3. Miten voidaan laskea, monenko täyden kierrosmäärän jälkeen sykloidi sulkeutuu?
  4. Voidaanko vierivän ympyrän säde valita siten, että sykloidi ei sulkeudu koskaan?
  5. Millaisilla vakioiden r ja d arvoilla syntyy viisisakarainen tähti?
  6. Kutistuuko sykloidi yhdeksi pisteeksi joillakin vakioiden r ja d arvoilla?
  7. Voiko sykloidista tulla ympyrä joillakin vakioiden r ja d arvoilla?
Vertaa kokeilemalla saatuja tuloksia siihen, mitä parametriesitys antaa!
Henna Komi & Simo K. Kivelä 25.7.2005 Pohjana LiveGraphics3D