Simo K. Kivelä, 9.11.2007

Derivaatta tangentin kulmakertoimena

Pisteet (a,f(a)) ja (a+h,f(a+h)) sijaitsevat käyrällä y=f(x). Näiden pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin on

((f(a+h)-f(a))/h) .

Tätä kutsutaan myös funktion erotusosamääräksi pisteessä x=a. Pisteiden kautta kulkeva suora on käyrän sekantti. Kun pisteet lähestyvät toisiaan, ts. h->0, sekantti kääntyy vähitellen käyrän tangentiksi. Tällöin erotusosamäärä lähestyy tangentin kulmakerrointa.

Toisaalta raja-arvoa

(lim_(h->0)) ((f(a+h)-f(a))/h)

kutsutaan funktion f derivaataksi pisteessä a, ja sitä merkitään f'(a). Tällä tavoin geoemetrisesti tulkittuna derivaatta on siis funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin.

Siirrä alla olevassa demonstraatiossa muuttujaan h liittyvää liukusäädintä siten, että h->0, ja tarkkaile sekä sekantin kääntymistä että kuvion alapuolella ilmoitetun kulmakertoimen muuttumista. Alapuolella on myös derivaatan arvo pisteessä x=a laskettuna ns. derivointisääntöjen avulla. Miten tämä ja kulmakerroin suhtautuvat, kun h->0?

Voit myös vaihtaa tarkastelupistettä a liukusäätimen avulla ja kirjoittaa funktioikkunaan uuden funktion. Jälkimmäinen tulee tehdä Mathematican syntaksin mukaisesti, esim. Sin[x].

Manipulate[d=0.01;b=f/.x->a;kk=((f/.x->a+h)-(f/.x->a))/h;ColumnForm[{Graphics[{{PointSize[0.02],Point[{a,b}]},Line[Table[{-3+k*d,f/.x->-3+k*d},{k,0,6/d}]],Line[{{-3,b+kk*(-3-a)},{3,b+kk*(3-a)}}],{Red,Line[{{a,0},{a,b}}],Line[{{a+h,0},{a+h,b+kk*h}}]}},PlotRange->{{-3,3},{b-3,b+3}},Axes->True,ImageSize->400],"kulmakerroin = "<>ToString[N[kk]],"derivaatta = "<>ToString[N[D[f,x]/.x->a]]}],{{f,x^3-1,"f(x)"}},{{a,0.5},-2,2,Appearance->"Labeled"},{{h,0.9},-1,1,Appearance->"Labeled"}]