3 Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

3.1 Reaali- ja kompleksifunktiot

Tehtävä 43

Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a, b[. Todista, että raja-arvot lim_xa+f(x) ja lim_xb-f(x) ovat olemassa. Todista myös, että lim_xc-f(x) ja lim_xc+f(x) ovat olemassa, kun c

]a, b[.

Tehtävä 44

Todista monotonisuuden määritelmään nojautuen, että seuraavat funktiot ovat monotonisia mainitulla välillä: a) x³ + 3x - 3, x

, b)

, x

]1,

Tehtävä 45

Olkoot f ja g kasvavia välillä I. Todista, että f + g on kasvava välillä I.

Tehtävä 46

Olkoot f ja g kasvavia välillä I. Todista, että h(x) = max{f(x), g(x)} on kasvava välillä I.

Tehtävä 47

Olkoon f aidosti kasvava joukossa

₊ = {x

| x > 0} ja lim_x0+f(x) = 0. Todista: x > 0 ===>

f(x) > 0.

Tehtävä 48

Osoita, että jos funktiot f ja g ovat parillisia, niin myös f + g ja fg ovat parillisia. Osoita edelleen, että jos f ja g ovat parittomia, niin f + g on pariton ja fg parillinen.

Tehtävä 49

Funktio f olkoon määritelty reaaliakselin välillä ] - a, a[. Todista, että f voidaan kirjoittaa muotoon f = f₁ + f₂, missä f₁ on parillinen ja f₂ pariton funktio.

Vastaus

Tehtävä 50

Olkoon L reaalimuuttujan funktion f jakso. Mitä muita jaksoja funktiolla on?

Tehtävä 51

Olkoon f₁(x) = x + 1, f₂(x) = x - 2, f₃(x) = 2x + 3, f₄(x) = x² + x. Muodosta seuraavat yhdistetyt funktiot: a) f₄(f₃(f₂(x))), b) f₂(f₃(f₄(x))), c) f₄ (f₁ (f₁ (x³ ))).

Vastaus

Tehtävä 52

Olkoon f(x) = ax² + bx + c. Määritä a, b ja c siten, että f(x + 2) = f(x) + 2 kaikilla x

Vastaus

Tehtävä 53

Piirrä seuraavien funktioiden kuvaajat:

a) f(x) = 1 + x - |x|, b) f(x) = |x + 1| + |x - 1| - 2|x|, c) f(x) = |x² - 1| - x².

3.2 Funktion raja-arvo

Tehtävä 54

Todista suoraan raja-arvon määritelmään nojautuen, että lim_x10x² = 100.

Tehtävä 55

Todista suoraan raja-arvon määritelmään perustuen, että lim_xa V~ -
x

(a > 0), ts. etsi annettua lukua

vastaava

Tehtävä 56

Todista, että lim_xaf(x) = A, jos ja vain jos lim_xa[f(x) - A] = 0.

Tehtävä 57

Olkoon f(x) < g(x) < h(x) pisteen a aidossa ympäristössä sekä lisäksi lim_xaf(x) = lim_xah(x) = A. Todista, että lim_xag(x) = A.

Tehtävä 58

Olkoon lim_xaf(x) = 0 ja olkoon g(x) rajoitettu eräässä pisteen a ympäristössä. Todista:

lim_xa(f(x)g(x)) = 0.

Tehtävä 59

Olkoon lim_xaf(x) = A

0 ja älköön lim_xag(x) olko olemassa. Todista, että lim_xa (f(x)g(x)) ei ole olemassa.

Tehtävä 60

Määritä seuraavat raja-arvot:

	a) lim_x1,		b) lim_x1 ,
	c) lim_x2,		d) lim_x0
	e) lim_x9,		f) lim_x0.

Vastaus

Tehtävä 61

Määrittele täsmällisesti

	a) lim_x-f(x) = A,		b) lim_x-f(x) = ,		c) lim_xaf(x) = -,
	d) lim_xf(x) = -,		e) lim_xf(x) = .

Tehtävä 62

Etsi jokaista positiivilukua

kohti jokin luku M siten, että

x > M ===> x2-+-x-
x4 + 2 < .

Vastaus

Tehtävä 63

Määritä inf S, kun

S = { | | }
|4x - 3 | 1
M ||x|> M ===> ||-------- 2||< -----
2x - 5 1000 .

Mitä tekemistä tällä on raja-arvon määritelmän kanssa?

Tehtävä 64

Olkoon a

, A

. Todista seuraavat raja-arvoa koskevat tulokset suoraan määritelmään perustuen:

a) lim_xaf(x) = A	ja lim_xag(x) =	lim_xa(f(x) + g(x)) = ,
b) lim_xf(x) =	ja lim_xg(x) = -	lim_x(f(x)g(x)) = -,
c) lim_x-f(x) = A	ja lim_x-g(x) =	lim_x- = 0.

Tehtävä 65

Todista, että jos toinen raja-arvoista lim_xf(x) ja lim_x0+f(1/x) on olemassa, niin on toinenkin ja raja-arvot ovat yhtä suuret.

Tehtävä 66

Määritä seuraavat raja-arvot:

	a) lim_x-,		b) lim_x( - x),
	c) lim_x( - ),		d) lim_x7-,
	e) lim_x5-,		f) lim_x5+.

Vastaus

Tehtävä 67

Määritä

	a) lim_x,		b) lim_x0,
	c) lim_x-1,		d) lim_xa+.

Vastaus

Tehtävä 68

Olkoon

f(x) = lim_y ---5----
1 + yx5 .

Osoita, että lim_x0f(x) = 0.

Vastaus

Tehtävä 69

Olkoon ABCD

0. Määritä

lim_y ( )
Ax + By
lxi-->m oo ---------
Cx + Dy - lim_x ( )
Ax + By
lyi-->m oo ---------
Cx + Dy .

Vastaus

Tehtävä 70

Tutki numeerisesti raja-arvoa

lim_x9 V~ --
x- 3
V~ ----- V~ ------
13 + x - 4 .

Tehtävä 71

Tutki raja-arvoa

lim_x0 1 - cos x
-----2---
x

sijoittamalla muuttujalle x yhä lähempänä origoa olevia arvoja.

Tehtävä 72

Tutki raja-arvoa

lim_x(sin x)^{tan ²
x}

sijoittamalla muuttujalle x yhä lähempänä origoa olevia arvoja.

Tehtävä 73

Piirrä funktion

y(x) = (sin x)^{tan ²
x}

kuvaaja pisteen p
2 ympäristössä. Miten funktion arvo tässä pisteessä on määriteltävä, jotta siitä tulisi jatkuva? Mikä mahtaa olla raja-arvon tarkka arvo?

Tehtävä 74

Hahmottele funktioiden

sin 1-
x ja x sin 1-
x

kuvaajat, ja tutki funktioiden raja-arvoja origossa.

Tehtävä 75

Määritellään reaalimuuttujan reaaliarvoiset funktiot f ja g seuraavasti:

f(x) = { 1
xsin x, kun x /= 0,
0, kun x = 0; g(x) = {
0, kun x /= 0,
1, kun x = 0.

Määritä funktioiden raja-arvot origossa. Onko yhdistetyllä funktiolla gof raja-arvoa origossa?

3.3 Funktion jatkuvuus

Tehtävä 76

Funktio

f(x) = x2 - 4
x3---8-

on määritelty, kun x2. Mikä on sovittava f(2):n arvoksi, jotta funktio olisi jatkuva kaikilla muuttujan x arvoilla?

Vastaus

Tehtävä 77

Olkoon

	a) f(x) =
	b) f(x) =

Määritä ne a:n arvot, joilla vastaava f on jatkuva kaikilla muuttujan x arvoilla. Piirrä kuvaajat.

Vastaus

Tehtävä 78

Olkoon f jatkuva arvolla x = 0 ja f(0) > 0. Osoita, että on olemassa positiiviluvut m ja

siten, että |x| <

f(x) > m.

Tehtävä 79

Todista, että jos f on jatkuva ja g on epäjatkuva, kun x = a, niin f + g on epäjatkuva tässä pisteessä.

Tehtävä 80

Todista, että jos pisteessä x = a funktio f on jatkuva ja

0 sekä g epäjatkuva, niin tulo fg on epäjatkuva.

Tehtävä 81

Määritellään funktio floor :

asettamalla

floor(x) = suurin kokonaisluku, joka on < x.

Olkoon f tämän avulla määritelty funktio:

f(x) = floor(x) + floor(-x) + 1.

Tutki funktioiden floor ja f jatkuvuutta. Piirrä funktioiden kuvaajat. Ovatko funktiot jaksollisia?

Tehtävä 82

Määritä sup S, kun

S = { || ||x - 1 1 || 1 }
d || |x- 3|< d ===> ||-------- --||< ----
2x + 2 4 100 .

Mitä tekemistä tällä tehtävällä on funktion jatkuvuuden kanssa?

Tehtävä 83

Funktio f olkoon määritelty ja aidosti kasvava välillä [a, b]. Funktion arvojoukko olkoon väli [f(a), f(b)]. Osoita, että funktio on jatkuva.

Tehtävä 84

Olkoon funktio f jatkuva välillä ] - 1, 1[ ja f(0) = 0. Funktio g olkoon määritelty (mutta ei välttämättä jatkuva) samalla välillä ja se toteuttakoon tällä välillä ehdon g(x) > m > 0, missä m on vakio. Osoita, että funktio f/g on jatkuva origossa. Osoita esimerkillä, että tulos ei välttämättä pidä paikkaansa, jos funktiota g koskeva ehto muutetaan muotoon g(x) > 0. (Valitse esimerkiksi f(x) = x ja tämän jälkeen sopiva origossa epäjatkuva g.)

Tehtävä 85

Etsi seuraavien funktioiden käänteisfunktioiden lausekkeet:

a) y = V~ x- + V~ 1-
x , b) y = V~ --------
1 - V~ x- + V~ --------
1 + V~ x- .

Vastaus

Tehtävä 86

Osoita, että jos

y = f(x) = ax - b
cx---a- ,

niin x = f(y). Oletetaan, että a²bc. Miksi?

Tehtävä 87

Olkoon A = { x

| x < 0 tai x > 1 } ja B = { y

| 0 < y < 2 }. Osoita, että funktio f : A -->

f(x) = {
ex, kun x < 0,
x+1-
x , kun x > 1,

on jatkuva bijektio, mutta sen käänteisfunktio ei ole jatkuva.

Tehtävä 88

Olkoon f joukossa

₊ aidosti kasvava ja jatkuva sekä olkoon lim_x0+f(x) = 0. Olkoon y = g(x) = xf(x) kaikilla x > 0. Osoita, että funktiolla g on arvoilla y > 0 määritelty käänteisfunktio.

3.4 Jatkuvat reaalifunktiot

Tehtävä 89

Todista, että jos funktio f on tasaisesti jatkuva välillä I, niin f on jatkuva välillä I.

Tehtävä 90

Osoita tasaisen jatkuvuuden määritelmään nojautuen, että x² a) on tasaisesti jatkuva välillä [0, 1], b) ei ole tasaisesti jatkuva joukossa {x | x > 0}.

Tehtävä 91

Osoita tasaisen jatkuvuuden määritelmään nojautuen, että V~ ---------
100 + x2

on tasaisesti jatkuva joukossa

Tehtävä 92

Todista, että jos funktiot f ja g ovat tasaisesti jatkuvia välillä I, niin f + g on tasaisesti jatkuva välillä I.

Tehtävä 93

Anna esimerkki a) avoimella välillä jatkuvasta, ei-rajoitetusta funktiosta, b) suljetulla välillä määritellystä ja rajoitetusta funktiosta, jonka arvojoukolla ei ole maksimia eikä minimiä.

Tehtävä 94

Todista, että joukolla

{ }
--x----
1 + x2 | x (- R

on maksimi ja minimi.

Tehtävä 95

Olkoon funktio f joukossa

jatkuva ja rajoitettu. Todista, että joukolla

{ }
f-(x)-| x (- R
1 + x2

on maksimi tai minimi (tai molemmat).

Tehtävä 96

Osoita esimerkeillä, että seuraavat lauseet eivät päde, jos luovutaan olettamasta, että väli [a, b] on suljettu tai että funktio f on jatkuva:
a) Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f on tällä välillä rajoitettu, ts. on olemassa luku M > 0, jolle pätee |f(x)| < M kaikilla x

[a, b].
b) Olkoon f jatkuva suljetulla välillä [a, b]. Tällöin f saavuttaa suuurimman ja pienimmän arvonsa välillä [a, b], ts. on olemassa x₁, x₂

[a, b] siten, että

max_x[a,b]f(x) = f(x₁), min_x[a,b]f(x) = f(x₂).

Tehtävä 97

Olkoon f suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio, f(a)

0, f(b) = 0. Todista, että joukolla { x

]a, b] | f(x) = 0 } on minimi. Päteekö väite, jos sallitaan, että f(a) = 0?

Vastaus

Tehtävä 98

Olkoon funktio f jatkuva suljetulla välillä [a, b]. Osoita, että funktion arvojoukko { f(x) | x

[a, b] } on suljettu väli tai sisältää vain yhden pisteen.

Tehtävä 99

Olkoon funktio f jatkuva ja

0 välillä I. Osoita, että f saa välillä I vain joko positiivisia tai negatiivisia arvoja.

Tehtävä 100

Osoita, että yhtälöllä x³ - 5x² + 3 = 0 on ainakin kolme reaalijuurta ja rajoita nämä väleille, joiden pituus on 0.1.

Tehtävä 101

Osoita, että yhtälöllä 1
------
x- 1

= 0 on ainakin kaksi reaalijuurta ja rajoita nämä väleille, joiden pituus on 0.1.