10 Integroimistekniikkaa

10.1 Integraalifunktio

Tehtävä 388

Vertaa funktioiden a) ln x ja ln 10x,   b) tan x ja tan ,   c) ln (x + ) ja - ln(x - ), missä a > 0, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri arvoilla.

Vastaus

---

Tehtävä 389

Sievennä lauseke sin(2x) muodostamalla ensin sen derivaatta.

---

Tehtävä 390

Määritä se funktion 2x - 3 integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa x + y = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 391

Käyrä y = f(x) kulkee pisteen (3, 1) kautta ja jokaisessa pisteessä (x, f(x)) tangentin kulmakerroin on x² + 2x. Määritä käyrän yhtälö.

Vastaus

---

Tehtävä 392

Onko funktiolla |x| integraalifunktiota, joka on määritelty kaikilla x ?

Vastaus

---

Tehtävä 393

Määritä se funktion f(x) = x + |x| integraalifunktio F , joka toteuttaa ehdon F (1) = 2. Todenna, että F '(0) = f(0). Laske F (-2).

Vastaus

---

Tehtävä 394

Määritä seuraavien funktioiden integraalifunktiot a) käsin laskulla, b) jotakin tietokoneohjelmaa käyttäen:

	a) x3,		b) ,		c) ,
	d) ,		e) (3x - 7)413,		f) (2x2 - 5x + 7)(4x - 5),
	g) ,		h) ,		i)  sin x sin 2x,
	j) ,		k) ,		l) ,
	m) ,		n) ex,		o) ,
	p) e3x + ,		q) ,		r) ,
	s) ,		t) ,		u) ,
	v) ,		w) ,		x) ,
	y) ,		z) ,		å)  sinh 2x,
	ä)  cosh 2x,		ö) .

---

Tehtävä 395

Etsi seuraaville funktioille f annetun ehdon täyttävä integraalifunktio F :

	a) f(x) = 4 sin x cos x - ,     F (0) = 2,
	b) f(x) = ,     F () = 0,
	c) f(x) = - cos ,     F (1) = 0.

---

Tehtävä 396

Laske seuraavat määrätyt integraalit:

a)  dx,     b) ,     c)  dx  (a0).

---

10.2 Sijoitusmenettely

Tehtävä 397

Suorita jokin sopivalta tuntuva sijoitus, kun integroitava on muotoa

a) ,     b) f(cos x) sin x,     c) f(tan x) cos ²x,     d) f(ae^x + b)e^x  (a, b vakioita).

Miten integraali muuntuu kussakin tapauksessa?

---

Tehtävä 398

Laske seuraavat integraalit sijoitusta käyttäen:

	a) ,		b) ,		c)  dx,
	d) (1 + tan 2x) dx,		e) ,		f) ,
	g) ,		h) .

---

Tehtävä 399

Laske integraali

a) sijoituksella x = 1/t,   b) sijoituksella x = a tan t,   c) sijoituksella x = a sinh t.

---

Tehtävä 400

Etsi funktion 1/ cosh x integraalifunktio a) sijoituksella t = e^x, b) sijoituksella t = tanh . Vertaa saatuja integraalifunktioita.

---

Tehtävä 401

Määritä ne funktion

integraalifunktiot, joiden kuvaajilla on asymptoottina x-akseli.

Vastaus

---

Tehtävä 402

Muodosta sijoitusmenettelyä käyttäen seuraavista integraaleista kustakin kolme uutta integraalia, jotka eivät ole integroitavissa alkeisfunktioiden avulla:

a) ,     b) e^x2 dx,     c)  dx,     d)  dx,     a) .

---

Tehtävä 403

Laske seuraavat määrätyt integraalit sijoitusta käyttäen:

a)  dx,     b) .

Vastaus

---

Tehtävä 404

Osoita, että jos f on jatkuva funktio ja a < b, niin integraali f(x) dx voidaan muuntaa muotoa x = At + B olevalla sijoituksella integraaliksi, jonka rajat ovat ja . Suorita muuntaminen.

Vastaus

---

Tehtävä 405

Osoita, että jos f on jatkuva funktio, niin

f(x) dx = f(a + b - x) dx.

Vastaus

---

Tehtävä 406

Todista, että jos f jatkuva funktio, jolla on jaksona , niin

f(x) dx = f(x) dx.

---

Tehtävä 407

Määritä

lim_n.

Vastaus

---

10.3 Osittaisintegrointi

Tehtävä 408

Laske osittaisintegroinnilla

	a)  tan x dx,		b) x2 cos x dx,		c) x3e-x dx,
	d) x cosh x dx,		e) x ln 2x dx,		f) x dx,
	g)  dx,		h)  dx,		i) x tan x dx.

---

Tehtävä 409

Laske osittaisintegroinnilla

a) e dx,     b)  sin dx,     c)  dx.

---

Tehtävä 410

Laske a)  arsinh x dx,   b)  cosh x dx,   c)  artanh x dx.

---

Tehtävä 411

Laske cos ²x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa.

---

Tehtävä 412

Määritä x ln x dx kaikilla arvoilla .

---

Tehtävä 413

Muodosta osittaisintegroinnilla seuraavista integraaleista uusi integraali, joka ei ole laskettavissa alkeisfunktioiden avulla:

a) ,     b) e^x2 dx,     c)  dx,     d)  dx,     e)  dx.

---

Tehtävä 414

Laske seuraavat määrätyt integraalit:

	a) x cos 2x dx,		b)  dx,		c) |x sin x| dx,
	d)  tan(3x) dx,		e) x sin x dx,		f) x2e3x dx,
	g) (x - 1)2 ln x dx,		h) x ln 2x dx,		i)  dx.

---

Tehtävä 415

Johda palautuskaava integraalille

I_n = (ln x)ⁿ dx  (n ).

---

Tehtävä 416

Johda palautuskaava integraalille

I_n = (1 - x²)ⁿ dx  (n ).

---

Tehtävä 417

Johda osittaisintegroinnilla palautuskaava määrätylle integraalille

I_n = sin ⁿx dx  (n = 0, 1, 2, . . . ).

Vastaus

---

Tehtävä 418

Mitkä rajat saadaan luvulle f(x) dx, kun tiedetään, että f ja sen derivaatta ovat jatkuvia integroimisvälillä, f(1) = 1 ja |f'(x)| < e^x2 integroimisvälillä?

Vastaus

---

10.4 Rationaalifunktioiden integrointi; osamurtokehitelmä

Tehtävä 419

Integroi seuraavat rationaalifunktiot:

	a) ,		b) ,		c) ,
	d) ,		e) ,		f) ,
	g) ,		h) ,		i) ,
	j) ,		k) ,		l) ,
	m) .

---

Tehtävä 420

Laske integraalit

a) ,     b) ,     c)  dx.

---

Tehtävä 421

Jaa polynomi x⁴ + 4 enintään toista astetta oleviin reaalisiin tekijöihin ja laske tätä hyväksi käyttäen integraali

dx.

---

Tehtävä 422

Laske integraali

.

---

Tehtävä 423

Muodosta osamurtokehitelmä ja laske integraalifunktio lausekkeelle

.

---

Tehtävä 424

Muodosta osamurtokehitelmä rationaalifunktiolle

ja laske integraalifunktio.

---

Tehtävä 425

Laske integraali

dx.

---

Tehtävä 426

Muodosta osamurtokehitelmä lausekkeelle

.

Lisää tämän jälkeen lausekkeen nimittäjään 1 ja muodosta osamurtokehitelmä uudelleen.

---

Tehtävä 427

Laske

a) muodostamalla osamurtokehitelmä, b) suorittamalla ensin sopiva sijoitus.

---

Tehtävä 428

Olkoon a < b. Määritä se funktion

integraalifunktio, joka kohdassa (a + b) saa arvon 0.

Vastaus

---

Tehtävä 429

Laske kaikilla arvoilla a integraali

.

---

10.5 Esimerkkejä integroinnista

Tehtävä 430

Johda osittaisintegroinnilla palautuskaava integraalille

C_n = cos ⁿx dx,     n = 0, 1, 2, . . . .

Laske myös C₀ ja C₁.

---

Tehtävä 431

Olkoon

C_n = cos ⁿx dx.

Johda kaavat

	Cn = cos n-1x sin x + Cn-2,   n0,
	Cn-2 = - cos n-1x sin x + Cn,   n1.

Miten näiden avulla saadaan integraalit C_n, n , lasketuiksi?

---

Tehtävä 432

Johda sijoitusta t = tan x käyttäen palautuskaava integraalille

I_n = tan ⁿx dx,     n = 2, 3, 4, . . . .

Laske erikseen I₀ ja I₁ sekä palautuskaavan avulla I₅.

---

Tehtävä 433

Laske seuraavat integraalit:

	a)  sin 7x dx,		b) ,		c)  cos 6x dx,
	d) ,		e)  sin 24x cos 24x dx,		f)  sin 23x sin 25x dx,
	g)  dx,		h)  sin x sin 2x sin 3x dx,		i)  cos 3x dx,
	j)  dx,		k) ,		l)  dx.

---

Tehtävä 434

Laske integraalit

	a)  dx,		b)  dx,		c)  dx,
	d)  dx,		e)  dx.

---

Tehtävä 435

Muunna integraali

sijoituksella t = tan ja laske se. Piirrä integraalifunktion kuvaaja. Onko tämä jatkuva?

---

Tehtävä 436

Laske

.

---

Tehtävä 437

Laske integraalit

a)  dx,     b)  dx.

---

Tehtävä 438

Olkoon a > 0, b > 0. Laske

.

---

Tehtävä 439

Laske kaikilla arvoilla a

.

---

Tehtävä 440

Olkoon (a, b)(0, 0). Laske

a) ,     b) .

---

Tehtävä 441

Laske kaikilla arvoilla a, b

a)  cos ax cos bx dx,     b)  sin ax cos ²bx dx.

---

Tehtävä 442

Millä kokonaisluvun n arvoilla integraalit sinh ⁿx dx ja cosh ⁿx dx palautuvat polynomin integroimiseen? Millaista sijoitusta tällöin on käytettävä? Laske sovellutuksena

a)  sinh ⁵x dx,     b)  cosh ⁷x dx,     c) ,     d) .

Vastaus

---

Tehtävä 443

Laske seuraavat integraalit:

a) ,

b)  tanh 3x dx,

c) ,

d)  cosh 4x dx,

e) ,

f)  cosh 2x sinh 4x dx,

g)  coth 2x dx,

h)  dx.

---

Tehtävä 444

Laske palauttamalla eksponenttifunktioon

a) (cosh x + sinh x) dx,     b)  dx.

---

Tehtävä 445

Laske integraali

dx.

---

Tehtävä 446

Laske integraali

.

Anna vastaus logaritmifunktion avulla.

---

Tehtävä 447

Laske seuraavat integraalit:

	a)  dx,		b) ,		c)  dx,
	d)  dx,		e)  dx,		f) ,
	g)  dx,		h)  dx,		i)  dx,
	j)  dx,		k)  dx.

---

Tehtävä 448

Laske seuraavat määrätyt integraalit:

	a) x2 dx,		b)  dx,		c)  dx,
	d)  dx,		e) ,		f)   (ab0).

---

Tehtävä 449

Sievennä funktio

f(x) =   (x0)

ja piirrä sen kuvaaja.

Vastaus

---

Tehtävä 450

Muotoa

I = dx

oleva integraali, missä P_n(x) on astetta n oleva polynomi, voidaan laskea kirjoittamalla

I = (A₁ x^n-1 + A₂x^n-2 + . . . + A_n) + A_n+1.

Osoita, että kertoimet A_k voidaan määrätä yksinomaan polynomien yhtäsuuruutta koskevasta ehdosta, joka saadaan asettamalla edellä olevien lausekkeiden derivaatat yhtä suuriksi. Sovella menettelyä seuraavien integraalien laskemiseen:

a)  dx,     b)  dx.

---

Tehtävä 451

Palauta annetuilla sijoituksilla integraalit

	a)  dx,   x - 1 = ,
	b)  dx,   x =

edellisessä tehtävässä käsiteltyyn muotoon ja laske ne.

---

Tehtävä 452

Palauta integraali

dx

edellisessä tehtävässä käsiteltyyn tyyppiin muodostamalla ensin osamurtokehitelmä funktiolle x/(x² - 1). Laske integraali.

---

Tehtävä 453

Laske (ln x)ⁿ dx kaikille n .

Vastaus

---

Tehtävä 454

Laske integraalit

	a)  dx,		b) ,		c) ,
	d) ,		e)  dx.

Vastaus

---

Tehtävä 455

Laske integraalit

	a) ,		b) ,
	c)  dx,		d)  dx.

Vastaus

---

Tehtävä 456

Laske integraalit

a)  ln( + ) dx,     b)  dx,     c) (1 + x²)² tan x dx.

Vastaus

---

Tehtävä 457

Tutki, voidaanko seuraavat funktiot integroida alkeisfunktioiden avulla:

a) ,     b) .

---

Tehtävä 458

Tutki, voidaanko seuraavat funktiot integroida alkeisfunktioiden avulla:

a) ,     b) .

---