12 Lisää määrätystä integraalista

12.1 Integraalin arvioimisesta

Tehtävä 521

Osoita:

1 < dx < .

---

Tehtävä 522

Osoita:

0 < dx < 15 ^. 10^-5.

---

Tehtävä 523

Osoita:

< e^x2-x dx < 2e².

---

Tehtävä 524

Olkoon k > 0. Osoita:

dx > k.

---

Tehtävä 525

Olkoon a > e. Osoita:

dx > a - e.

---

Tehtävä 526

Osoita, että

dx = ln 3 - ,

missä 10^-12 < < 10^-10.

---

Tehtävä 527

Funktiosta f oletetaan, että f(0) = 1, sen derivaatta f' on jatkuva ja 1 + x < f' (x) < e^x välillä [-1, 0]. Mitä arvoja f(-1) voi saada?

Vastaus

---

Tehtävä 528

Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b] ja olkoon f(x)h(x) dx = 0, olipa h mikä tahansa integroituva funktio. Osoita, että f(x) = 0 kaikilla x [a, b].

---

12.2 Määrätyn integraalin väliarvolause

Tehtävä 529

Määritä integraalilaskun väliarvolauseessa esiintyvä , kun kyseessä on integraali

a) (x + ) dx,     b) x² dx.

Vastaus

---

Tehtävä 530

Määritä raja-arvo

lim_x2e^t2 dt.

Vastaus

---

Tehtävä 531

Olkoon funktio f jatkuva ja funktio g määritelty seuraavasti:

g(x) =

Osoita (yleistettyä) integraalilaskun väliarvolausetta käyttäen, että

lim_h0+f(x)g(x) dx = f(0).

---

12.3 Epäoleelliset integraalit

Tehtävä 532

Laske arvo tai osoita hajaantuminen seuraaville integraaleille:

	a)   (p2 < 4q),		b) ,		c) ,
	d) ,		e)  dx,		f) ,
	g) e-ax cos bx dx  (a > 0),		h) e-ax sin bx dx  (a > 0),
	i)  dx,		j)  dx,		k)  dx,
	l)  dx  (a0),		m)  tan x dx,		n)  ln x dx.

Vastaus

---

Tehtävä 533

Johda palautuskaava integraalille

I_n = xⁿe^-x dx,     n = 0, 1, 2, . . . ,

ja laske integraali sen avulla.

Vastaus

---

Tehtävä 534

Määritä a ja b siten, että integraali

dx

suppenee ja on arvoltaan = 1.

Vastaus

---

Tehtävä 535

Tutki, millä arvoilla k seuraavat integraalit suppenevat:

a)  dx,     b) ,     c)  sin ^kx dx.

Vastaus

---

Tehtävä 536

Millä arvoilla k integraali

dx

a) ei ole epäoleellinen, b) on epäoleellinen ja suppenee?

Vastaus

---

Tehtävä 537

Laske seuraavan epäoleellisen integraalin arvo tai osoita sen hajaantuminen:

.

---

Tehtävä 538

Laske

    (ab0).

Vastaus

---

Tehtävä 539

Sievennä funktion

f(x) = dt

lauseke ja piirrä kuvaaja.

Vastaus

---

Tehtävä 540

Osoita, että on olemassa vakio M > 0 siten, että kaikilla  ]0, 1[ pätee

dx < M.

---

Tehtävä 541

Todista:

f suppenee lim_bf = 0.

---

Tehtävä 542

Todista:

	a) |f| suppenee f suppenee,
	b) |f| suppenee f suppenee.

---

Tehtävä 543

Olkoon funktio f jatkuva, kun x > 1, ja

lim_x = -2.

Osoita, että integraali e^f(x) dx suppenee.

---

Tehtävä 544

Arvoilla x > 0 määritellään gammafunktio integraalilla

(x) = t^x-1e^-t dt.

Päättele, että integraali suppenee, jos x > 0. Suppeneeko integraali, jos x < 0?

Vastaus

---

Tehtävä 545

Piirrä gammafunktion kuvaaja jonkin tietokoneohjelman avulla. Tarkastele erikseen positiivisia ja negatiivisia muuttujan arvoja. Tiedätkö, miten gammafunktio on määritelty negatiivisilla muuttujan arvoilla?

---

Tehtävä 546

Laske käyrän y = xe^-x2/2 ja sen asymptootin väliin jäävän rajoittamattoman tasokuvion ala.

Vastaus

---

Tehtävä 547

xz-tason käyrä z = exp(-x²) pyörähtää z-akselin ympäri, jolloin syntyy xy-tason yläpuolella sijaitseva (ääreetömyyteen joka suunnassa ulottuva) pinta. Laske tämän pinnan ja xy-tason väliin jäävän alueen tilavuus, mikäli se on äärellinen.

---

Tehtävä 548

Osoita, että avaruuskäyrän r(t) = e^-t(cos t i + sin t j + k), 0 < t < , pituus on äärellinen ja määritä se.

Vastaus

---

Tehtävä 549

Käyrä y = e^-x, 0 < x < , pyörähtää x-akselin ympäri. Laske syntyvän (äärettömyyteen ulottuvan) pyörähdyspinnan ala.

Vastaus

---

Tehtävä 550

Käyrä y = 1/x, 1 < x < , pyörähtää x-akselin ympäri, jolloin syntyy äärettömyyteen ulottuva suppilomainen astia. Laske tämän tilavuus. Astian halkaisijataso on levy {(x, y) | |y| < 1/x,  x > 1}. Mikä on tämän pinta-ala? Jos astia täytetään maalilla, tuleeko halkaisijataso kokonaisuudessaan peitetyksi maalilla?

---

Tehtävä 551

Määritä kaarenpituus napakoordinaattikäyrälle r = e^-, [0, [. Laske käyrän kaarevuus parametrin funktiona. Mikä on kaarevuussäteen raja-arvo, kun ? Piirrä käyrä.

---