1 Vektorimuuttujan funktiot

1.1 Avaruus ⁿ

Tehtävä 1

Todista Cauchyn –

’n – Schwarzin epäyhtälö avaruudessa

ⁿ.

Tehtävä 2

Tutki, onko joukko

S = U oo

k=1 { (x, y) | x [0, 1], y = }.

kompakti, ts. rajoitettu ja suljettu.

Tehtävä 3

Avaruuden

ⁿ joukon kompaktisuuden määritelmänä pidettäköön sitä, että se on suljettu ja rajoitettu; joukko olkoon suljettu, jos sen komplementti on avoin; joukko olkoon avoin, jos sen jokainen piste on sisäpiste. Sisäpiste on piste, jolla on jokin ympäristö, joka kokonaisuudessaan sisältyy joukkoon. Joukon kasautumispiste on piste, jonka jokaisessa ympäristössä on muitakin joukon pisteitä kuin kasautumispiste itse (jonka ei edes tarvitse kuulua joukkoon). Osoita, että joukko A

ⁿ on kompakti, jos ja vain jos sen jokaisella äärettömän monen alkion osajoukolla on kasautumispiste joukossa A.

1.2 Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

Tehtävä 4

Todista, että seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla on raja-arvo origossa ja määritä tämä:

a) (1 + y2) sin x
-----x------- , b) xtan y
--y---- .

Vastaus

Tehtävä 5

Olkoon funktiolla f : E³ -->

E³ raja-arvo

lim_rr₀f(r) = ao.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen, että

lim_rr₀ -f(r)-
|f(r)| = a--
|a | .

Vastaus

Tehtävä 6

Todista suoraan raja-arvon määritelmään perustuen, että funktio f :

², f(x, y) = (x + y, xy), on jatkuva pisteessä (1, 1).

Tehtävä 7

Funktio f :

olkoon jatkuva pisteessä (x₀, y₀, z₀). Määritellään funktio g :

asettamalla g(x, y) = f(x, y, z₀). Todista, että g on jatkuva pisteessä (x₀ , y₀ ).

Vastaus

Tehtävä 8

Määrittele tasainen jatkuvuus funktiolle f :

. Tutki, ovatko funktiot a) f(x, y) = 3x + 5y, b) f(x, y) = xy tasaisesti jatkuvia määrittelyjoukossa

².

1.3 Esimerkkejä vektorimuuttujan funktioista

Tehtävä 9

Millä muuttujien arvoilla seuraavat kahden muuttujan reaaliarvoiset funktiot f(x, y) ovat määriteltyjä? Piirrä näiden kuvaajat.

a) x² - y², b) x^y - y^x, c) --xy----
x2 + y2 , d) --xy----
x2- y2 .

Tehtävä 10

Piirrä korkeuskäyräkuvat edellisen tehtävän funktioiden kuvaajista.

Tehtävä 11

Piirrä kahden muuttujan funktion

f(x, y) = xe^-(x²+y²)

kuvaaja (pinta), kun -3 < x < 3, -3 < y < 3.

Tehtävä 12

Tutki funktion f(x, y) = x³ + y³ - 3xy kuvaajaa piirtämällä sen tasa-arvokäyriä f(x, y) = vakio. Mikä käyrä saadaan, jos vakio = 0?

Tehtävä 13

Piirrä kuvaaja funktiolle

f(x, y) = ---
arc tan y-
x , x0.

Mitä arvoja funktio saa origon ympäristössä? Miten funktion kuvaajan muodostamaa pintaa voisi kuvata?

Tehtävä 14

Tarkastellaan pintaa z = xy²(1 - x)^y, 0 < x < 1, y > 0. Piirrä pinnan ja tasojen y = vakio leikkauskäyriä. Miten leikkauskäyrät z = f_y(x) käyttäytyvät, kun y -->

? Onko olemassa rajafunktiota z = f(x) = lim_yf_y(x)?

Tehtävä 15

Tarkastellaan kuvausta f :

²,

f(r, ) = (r cos , r sin ).

Piirrä lähtöjoukon suorakulmainen koordinaattiruudusto ja tämän kuva maalijoukossa. Onko kuvaus bijektio?

Vastaus

Tehtävä 16

Funktio f :

² määritellään asettamalla

(u, v) = f(x, y) = (e^x cos y, e^x sin y).

Lähtötasoa voidaan kutsua xy-tasoksi, maalitasoa uv-tasoksi. Tutki, millaiseksi uv-tason kuvioksi kuvautuu xy-tason neliö { (x, y) | 0 < x < 1, 0 < y < 1 }.

Vastaus

Tehtävä 17

Muodosta xy-tason suorakulmainen pistehila ja piirrä sen kuva. Kuvaa hila tämän jälkeen funktiolla f :

², f(x, y) = (e^x cos y, e^x sin y) ja piirrä kuvahila. Millaisesta kuvauksesta f on kysymys?

Tehtävä 18

Olkoot f :

³ ja g :

² kuvauksia:

f( 2x×1 ) = Ax, A = ( )
1 2
3 4
5 6 ; g(x, y) = (e^x cos y, e^x sin y).

Muodosta yhdistetyn funktion fog lauseke.

Vastaus

Tehtävä 19

Koko avaruuden täyttävä neste kiertää z-akselin ympäri siten, että nestehiukkasen kulmanopeus on suoraan verrannollinen sen z-koordinaatin neliöön. Muodosta vektorimuuttujan vektoriarvoinen funktio, joka esittää nestehiukkasen nopeusvektoria sen paikan funktiona. (Tällaista funktiota kutsutaan vektorikentäksi; jokaiseen avaruuden pisteeseen tai oikeammin sen paikkavektoriin r liittyy kentän vektori f(r)).

Vastaus

Tehtävä 20

Robotin tasossa liikkuva käsivarsi muodostuu kahdesta vivusta, joista edellinen on kiinnitetty toisesta päästä origoon ja toiseen on nivelletty jälkimmäinen vipu. Vipujen pituudet ovat a ja b. Käsivartta ohjataan säätämällä edellisen vivun suuntakulmaa

ja vipujen välistä kulmaa

. Lausu käsivarren vapaan pään koordinaatit (x, y) ohjauskulmien funktiona. Vastaako jokaista vapaan pään asemaa yksikäsitteiset ohjauskulmien arvot?

Tehtävä 21

Tason käänteissäteinen muunnos (inversio) on kuvaus

². Pisteen P

(x, y) kuvaksi asetetaan piste P '

(x', y') siten, että P ja P ' sijaitsevat samalla origosta O alkavalla säteellä ja etäisyyksille pätee |OP | |OP '| = 1. Johda kuvauksen komponenttifunktioiden lausekkeet.

Tehtävä 22

Eräässä karttaprojektiossa ajatellaan kiedottavaksi lieriö maapallon ympäri siten, että se sivuaa palloa päiväntasaajaa pitkin. Pallon pinnan piste projisioidaan lieriölle keskusprojektiolla, jonka keskus on maapallon keskipisteessä. Lopuksi lieriö leikataan auki jotakin meridiaanin kuvaa pitkin ja levitetään tasokartaksi. Johda lausekkeet sille kuvaukselle

², joka kuvaa maantieteelliset pallokoordinaatit suorakulmaisiksi karttakoordinaateiksi. Oletetaan, että lieriö on leikattu auki meridiaania 180^o pitkin ja karttakoordinaattien origo on kartan vasemmassa laidassa keskellä. Kartan mittakaava olkoon 1 : d päiväntasaajalla.

Vastaus