12 Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa

12.1 Gradientti, divergenssi ja roottori

Tehtävä 328

Laske  ^. u, kun u on vektorikenttä

	a) (z - y)i + (x - z)j + (y - x)k,
	b) exyz(i + x ln y j + x2z k),
	c) (x3z - 2xyz)i + (xy - 3x2yz)j + (yz2 - xz)k.

Vastaus

---

Tehtävä 329

Laske × u, kun u on vektorikenttä

	a) 2xyz i + x2z j + x2y k,
	b) exyz(i + x ln y j + x2z k),
	c) (x2 + y2 + z2)(xi + yj + zk).

Vastaus

---

Tehtävä 330

Laske vektorikentän

u(r) = (yx² + z)i + (zy² + x)j + (xz² + y)k

divergenssi ja roottori. Mikä on divergenssin arvo niissä pisteissä, missä roottori on = o?

Vastaus

---

Tehtävä 331

Piirrä kuva vektorikentän u(x, y, z) = z²(x i + y j) + k ja xz-tason leikkauksesta. Millaisia symmetriaominaisuuksia kentällä on?

---

Tehtävä 332

Laske vektorikentän u(x, y, z) = z²(x i + y j) + k vuo kuution |x| < ,  |y| < ,  |z| < pinnan läpi. Laske myös kentän divergenssi ja roottori.

Vastaus

---

Tehtävä 333

Piirrä samaan kuvaan funktion

u(x, y) = xe^-x2-y2

tasa-arvokäyrät ja tämän gradientin u(x, y) kenttävektorit. Miten tasa-arvokäyrät ja kenttävektorit suhtautuvat toisiinsa?

---

Tehtävä 334

Vektorikenttä u on riippumaton z-koordinaatista ja sen z-komponentti on = 0. xy-tasossa olevat kenttävektorit ovat origokeskisten ympyröiden (positiiviseen kiertosuuntaan osoittavia) tangenttivektoreita, joiden pituus riippuu ympyrän säteestä. Määritä kenttä, kun tiedetään, että × u = o. Piirrä kuva kentästä.

---

12.2 Laskusääntöjä

Tehtävä 335

Osoita: a)  ^. r⁰ = , b)  × r⁰ = o.

---

Tehtävä 336

Sievennä  ^. (r^pr). Millä luvun p arvoilla tulos on vakio?

Vastaus

---

Tehtävä 337

Sievennä r ^. [ ^. (r^pr)].

Vastaus

---

Tehtävä 338

Olkoon u(r) vektorikenttä. Saata yksinkertaisimpaan muotoonsa a) (u × ) ^.   r, b) (u × ) × r.

Vastaus

---

Tehtävä 339

Olkoon e vakioyksikkövektori ja u(r) vektorikenttä. Osoita:

e ^. [(e ^. u) + × (e × u)] =  ^. u.

---

Tehtävä 340

Olkoot

f(r) = a ^. r  ja  g(r) =

geometrisen avaruuden E³ skalaarikenttiä. Laske f ja g. Vektorit a ja b ovat vakioita.

---

Tehtävä 341

Olkoot a ja b vakiovektoreita. Laske skalaarikolmitulon [a, b, r] gradientti.

Vastaus

---

Tehtävä 342

Olkoot a ja b vakiovektoreita. Osoita:

[(r × a) ^. (r × b)] = b × (r × a) + a × (r × b).

---

Tehtävä 343

Olkoon c vakiovektori. Osoita vektoreita komponenteittain kirjoittamatta, että

= × .

---

Tehtävä 344

Olkoon c vakiovektori. Sievennä × (r²c × r).

Vastaus

---

Tehtävä 345

Olkoon c vakiovektori ja h : derivoituva funktio. Määritä skalaarikenttien F ja G lausekkeet kehitelmässä

× (r × h(r)c) = F (r)r - G(r)c.

Vastaus

---

Tehtävä 346

Lausu funktion F derivaattojen ja paikkavektorin pituuden r avulla r ^.   (² F (r)).

Vastaus

---

Tehtävä 347

Tutki, millä vakion p arvolla yhtälön

²[r²F (r)] = r²²F (r) + p r ^. F (r)

ainoa ratkaisu on identtisesti häviävä funktio F (r) = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 348

Olkoon F (r) avaruuden E³ skalaarikenttä, joka toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön

²[(r ^. r)F (r)] = 0.

Muodosta funktiota F koskeva tavallinen differentiaaliyhtälö ja tutki, millainen skalaarikenttä F (r) voi olla.

Vastaus

---

Tehtävä 349

Ratkaise Laplacen differentiaaliyhtälö ²u = 0 kolmiulotteisessa avaruudessa, kun tiedetään, että u on pallosymmetrinen, ts. u(x, y, z) = F (r). Mikä on yhtälön ratkaisu kaksiulotteisessa tasossa, kun u(x, y) = F (r)?

Vastaus

---

12.3 Käyräviivaiset koordinaatistot

Tehtävä 350

Yhtälöt

määrittävät käyräviivaiset koordinaatit u, v, w, ns. parabolisen koordinaatiston. Määritä koordinaatiston yksikkövektorit. Ovatko ne ortogonaalisia? Millaisia ovat koordinaattipinnat? Laske suure H.

---

Tehtävä 351

Pisteen suorakulmaiset koordinaatit ovat (3, 3, -5/2). Laske pisteen paraboliset koordinaatit ja lausu siihen liittyvät paraboliset yksikkövektorit {i, j, k}-kannassa.

Vastaus

---

Tehtävä 352

Lausu Laplacen operaattori = ² parabolisten koordinaatten avulla.

---

Tehtävä 353

Bipolaariset tasokoordinaatit u,  v määritellään yhtälöillä

x = ,   y = .

Tutki, minkälaiset ovat koordinaattikäyrät ja annettuun pisteeseen liittyvät bipolaariset yksikkövektorit. Ovatko koordinaatit suorakulmaisia?

Vastaus

---

12.4 Lieriö- ja pallokoordinaatisto

Tehtävä 354

Osoita, että lieriökoordinaateille pätee

a)  = e,     b)  = e,     c) z = e_z.

---

Tehtävä 355

Osoita, että pallokoordinaateille pätee

a) r = e_r,     b)  = e,     c)  = e.

---

Tehtävä 356

Totea oikeaksi seuraavat lieriökoordinaatteja koskevat kaavat:

a)  + × (ln z) = o,     b)  ln - × ( z) = o.

---

Tehtävä 357

Totea oikeaksi seuraavat pallokoordinaatteja koskevat kaavat:

a)  × (cos  ) = ,     b)  × = .

---

Tehtävä 358

Osoita, että lieriökoordinaattien yksikkövektoreiden osittaisderivaatat itse koordinaattien suhteen ovat = o paitsi

= e,      = -e.

---

Tehtävä 359

Laske pallokoordinaattien yksikkövektoreiden osittaisderivaatat itse koordinaattien suhteen ja esitä tulokset yksikkövektoreiden muodostamassa kannassa.

---

Tehtävä 360

z-akselin ympäri kiertävän kentän vektorit ovat lieriökoordinaattien yksikkövektoreiden e suuntaiset ja niiden itseisarvo on suoraan verrannollinen z-akselista lasketun etäisyyden neliöön. Laske kentän divergenssi ja roottori. Mitä nämä kertovat kentästä?

Vastaus

---

Tehtävä 361

Virtauskentän kenttävektorit muodostuvat pallokoordinaattien yksikkövektoreista e. Laske kentän divergenssi ja roottori. Kuvaile, millaisesta virtauksesta on kysymys. Missä sijaitsevat virtauksen lähteet?

Vastaus

---

Tehtävä 362

Laske pallokoordinaateissa r, ja . Tulkitse saamasi tulos: Minkä suuntaisia gradienttivektorit ovat? Osoita, että × (cos ) = .

---

Tehtävä 363

Osoita, että kaavat

missä r > 0, 0 < ₁ < , 0 < ₂ < , 0 < < 2 määrittelevät neliulotteiset pallokoordinaatit. Miten on määriteltävä n-ulotteiset pallokoordinaatit?

---