14 Pyörteettömät ja lähteettömät vektorikentät; potentiaali

14.1 Lähdekenttä ja pyörrekenttä

Tehtävä 407

Vektorikenttä määritellään lieriökoordinaateissa asettamalla

u(, , z) = ------1------
z2 + (r - 1)2 e.

Kuvaile, millainen kenttä on kyseessä. Laske sen divergenssi ja roottori. Mitä nämä kertovat kentästä?

Tehtävä 408

Pallosymmetrinen vektorikenttä määritellään yhtälöillä

u(r) = 1-
{ 3 r, kun r < R,

R3--
3r3 r, kun r > R.

Laske kentän lähde- ja pyörrekenttä sekä vuo origokeskisen r-säteisen pallopinnan läpi.

Tehtävä 409

Osoita, että avaruuden kahdeksannes

{ (x, y, z) | x > 0, y > 0, z > 0 }

on vektorikentän - $\~/$ 1
--
r kenttäputki. Olkoon B mielivaltainen paloittain säännöllinen putken poikkileikkauspinta. Laske kentän vuo pinnan B läpi.

14.2 Pyörteetön vektorikenttä

Tehtävä 410

Todista, että xy-tason ympyrät x² + y² = 1 ja x² + y² - 4x = 5 ovat homotooppiset konstruoimalla sopiva kahden muuttujan jatkuva vektorifunktio, joka välittää muuntumisen.

Tehtävä 411

Tutki, onko kaksiulotteisella vektorikentällä u(x, y) = (y + 2x)i + xj potentiaalia, ts. onko olemassa skalaarifunktiota V (x, y), jonka gradienttina kenttä saadaan. Laske potentiaali myönteisessä tapauksessa. Laske viivaintegraali

integral

c u^.dr,

missä c on pisteitä (1, 0) ja (1, 2) yhdistävä origon kautta kulkeva ympyrän kaari.

Tehtävä 412

Määritä funktio g(y) siten, että tason vektorikentällä

u(x, y) = 2xyg(y) i + x²(y + 1)g(y) j

on potentiaali.

Vastaus

Tehtävä 413

Valitse vakio c siten, että tason vektorikenttä

u(x, y) = (x + cxy) i + x² j

on pyörteetön. Määritä potentiaali, joka häviää pisteessä (1, 1). Laske valitsemallasi arvolla c viivaintegraali

integral Q

P u^.dr

pisteitä P (2a, - 3
5 ) ja Q (a, 3
5 ) yhdistävää paloittain sileää tietä pitkin.

Tehtävä 414

Osoita vektorikenttä u(x, y, z) = z i + z cos y j + (x + sin y) k pyörteettömäksi ja muodosta sen (skalaari)potentiaali.

Tehtävä 415

Osoita seuraavat vektorikentät u(x, y, z) koko avaruudessa pyörteettömiksi ja etsi niiden skalaaripotentiaalit:

	a) e^x sin y i + e^x cos y j + z k,
	b) x i + z sin y j - cos y k,
	c) 2xyz i + x²z j + x²y k,
	d) (x² + y² + z²)(x i + y j + z k) = r²r,
	e) - 2xe^-y i + (x²e^-y + sin z) j + y cos z k.

Tehtävä 416

Miten funktio f(z) on valittava, jotta vektorikenttä

u(x, y, z) = xy² i + (cos z + x²y) j + yf(z) k

olisi pyörteetön koko avaruudessa? Määritä kentän potentiaali.

Tehtävä 417

Vektorikenttä

u(x, y, z) = x
--2---2-
x + y i + y
-2----2-
x + y j

on määritelty koko avaruudessa z-akselia lukuunottamatta. Osoita, että se on pyörteetön ja konservatiivinen. Etsi potentiaali.

Tehtävä 418

Olkoon c puolitasossa { (x, y) | x > 0 } pisteitä (2, -2) ja (5, 0) yhdistävä paloittain sileä käyrä. Osoita, että tason viivaintegraali

integral

c ln V~ -2----2-
x + y dx - ---
arc tan -y
x dy

on tiestä c riippumaton ja laske sen arvo.

Tehtävä 419

Muodosta vektorikentälle

u(r) = 1
{ -r, kun r < R,
3
R3
--3 r, kun r > R.
3r

fysikaalinen skalaaripotentiaali, so. etsi funktio V (r), jolle pätee u = - $\~/$ V . Normeeraa V siten, että sen raja-arvo äärettömyydessä on = 0.

Vastaus

Tehtävä 420

Mikä ehto vakiovektoreiden a ja b on toteutettava, jotta kenttä u(r) = a(b^.r) olisi pyörteetön? Osoita, että tällöin kentällä on potentiaali V (r) = - 1
2

(a^.r)(b^.r).

Tehtävä 421

Dipolin (kaksoislähteen) muodostaman vektorikentän potentiaali on

V (r) = -1-
4p p-.r-
r3 ,

missä p on vakiovektori. Laske kenttä ja sen lähdekenttä.

Vastaus

Tehtävä 422

Dipolin (kaksoislähteen) muodostaman vektorikentän potentiaali on

V (r) = 1
---
4p p .r
--3--
r ,

missä p on vakiovektori. Laske kenttä. Piirrä potentiaalin tasa-arvokäyrät ja kenttä xy-tasossa, kun p = i + j.

Tehtävä 423

Jatkuvasti derivoituva vektorikenttä u ei ole pyörteetön, mutta kun se kerrotaan jatkuvasti derivoituvalla skalaarikentällä v saadaan pyörteetön kenttä vu. Osoita, että tällöin kentät u ja $\~/$ × u ovat kohtisuoria.

Tehtävä 424

Derivoituva skalaarikenttä v(r) toteuttaa yhtälön r^. $\~/$ v = cv, missä c on vakio. Mikä arvo tulee vakiolla c olla, jotta kenttä ( $\~/$ v × r) × r olisi konservatiivinen? Määritä sen potentiaali.

14.3 Lähteetön vektorikenttä

Tehtävä 425

Osoita vektorikenttä u(x, y, z) = x(z - y) i + y(x - z) j + z(y - x) k lähteettömäksi ja muodosta sen vektoripotentiaali.

Tehtävä 426

Osoita seuraavat vektorikentät u(x, y, z) lähteettömiksi ja muodosta niiden vektoripotentiaalit:

	a) xy i + j - yz k,
	b) (z - y) i + (x - z) j + (y - x) k,
	c) x² i + (x²y - 2xy) j - x²z k,
	d) (y + z) i + sin z j + cos x k.

Tehtävä 427

Valitse funktio f(x, y, z) siten, että vektorikenttä

u(x, y, z) = sin x i + cos y j + f(x, y, z) k

on lähteetön ja muodosta kentälle vektoripotentiaali.

Vastaus

Tehtävä 428

Määritä ne funktiot f(x), joilla kenttä u = f(x) rⁿ r on lähteetön. Laske kentän vuo origoa ympäröivän umpinaisen pinnan läpi, kun n = -3 ja f(x) = 1 kaikilla x.

Tehtävä 429

Määritä sellainen skalaarikenttä v(r) ja vektorikenttä A(r), että

$\~/$ u + $\~/$ × A = x²y i + y²z j + z²x k.

Onko vastaus yksikäsitteinen?

Tehtävä 430

Osoita alueessa G =

³ \ {(0, 0, 0)} määritelty vektorikenttä u(r) = r/r³ lähteettömäksi ja laske sen vuo origokeskisen pallopinnan läpi. Osoita Stokesin lauseen avulla, että jos kentällä on vektoripotentiaali alueessa G, niin kentän vuot ylemmän ja alemman puolipallon läpi ovat itseisarvoltaan yhtä suuret mutta vastakkaismerkkiset. Mitä tästä voidaan päätellä vektoripotentiaalin suhteen?

Vastaus

Tehtävä 431

Selosta vektorikentän pyörteettömyyden, lähteettömyyden, konservatiivisuuden, viivaintegraalin tiestä riippumattomuuden, skalaaripotentiaalin olemassaolon ja vektoripotentiaalin olemassaolon väliset yhteydet. Määritä avaruuden

³ vektorikentän u(x, y, z) = x i + y j + z k skalaaripotentiaali ja kentän v(x, y, z) = y i + x j vektoripotentiaali.

Tehtävä 432

Määritä vakio p siten, että vektorikenttä u(r) = r^pr (r kolmiulotteisen avaruuden paikkavektori, r sen pituus) on lähteetön. Laske tällä arvolla p kentän vuo origokeskisen R-säteisen pallopinnan läpi. Voidaanko vuo laskea Gaussin lauseen avulla?