Lasketaan käyttäen asteita.
![[Graphics:Images/harj3_gr_1.gif]](Images/harj3_gr_1.gif)
0.` |
0.01745240643728351` |
0.03489949670250097` |
0.052335956242943835` |
0.0697564737441253` |
0.08715574274765817` |
0.10452846326765347` |
0.12186934340514748` |
0.13917310096006544` |
0.15643446504023087` |
0.17364817766693033` |
0.1908089953765448` |
0.20791169081775934` |
0.224951054343865` |
0.24192189559966773` |
0.2588190451025207` |
0.27563735581699916` |
0.29237170472273677` |
0.30901699437494745` |
0.3255681544571567` |
0.3420201433256687` |
0.35836794954530027` |
0.374606593415912` |
0.39073112848927377` |
0.4067366430758002` |
0.42261826174069944` |
0.4383711467890774` |
0.45399049973954675` |
0.4694715627858908` |
0.48480962024633706` |
0.5` |
0.5150380749100542` |
0.5299192642332049` |
0.5446390350150271` |
0.5591929034707469` |
0.573576436351046` |
0.5877852522924731` |
0.6018150231520483` |
0.6156614753256583` |
0.6293203910498374` |
0.6427876096865393` |
0.6560590289905073` |
0.6691306063588582` |
0.6819983600624985` |
0.6946583704589973` |
0.7071067811865475` |
0.7193398003386511` |
0.7313537016191705` |
0.7431448254773942` |
0.754709580222772` |
0.766044443118978` |
0.7771459614569709` |
0.788010753606722` |
0.7986355100472928` |
0.8090169943749475` |
0.8191520442889918` |
0.8290375725550417` |
0.838670567945424` |
0.848048096156426` |
0.8571673007021123` |
0.8660254037844386` |
0.8746197071393957` |
0.8829475928589269` |
0.8910065241883678` |
0.898794046299167` |
0.9063077870366499` |
0.9135454576426009` |
0.9205048534524404` |
0.9271838545667874` |
0.9335804264972017` |
0.9396926207859083` |
0.9455185755993167` |
0.9510565162951535` |
0.9563047559630354` |
0.9612616959383189` |
0.9659258262890682` |
0.9702957262759965` |
0.9743700647852352` |
0.9781476007338056` |
0.981627183447664` |
0.984807753012208` |
0.9876883405951378` |
0.9902680687415704` |
0.992546151641322` |
0.9945218953682733` |
0.9961946980917455` |
0.9975640502598242` |
0.9986295347545738` |
0.9993908270190958` |
0.9998476951563913` |
1.` |
Lasketaan käyttäen radiaaneja. Muistetaan että 1 aste on
![[Graphics:Images/harj3_gr_3.gif]](Images/harj3_gr_3.gif)
1.` |
0.9998476951563913` |
0.9993908270190958` |
0.9986295347545738` |
0.9975640502598242` |
0.9961946980917455` |
0.9945218953682733` |
0.992546151641322` |
0.9902680687415704` |
0.9876883405951378` |
0.984807753012208` |
0.981627183447664` |
0.9781476007338057` |
0.9743700647852352` |
0.9702957262759965` |
0.9659258262890682` |
0.9612616959383189` |
0.9563047559630355` |
0.9510565162951535` |
0.9455185755993168` |
0.9396926207859084` |
0.9335804264972017` |
0.9271838545667874` |
0.9205048534524404` |
0.9135454576426009` |
0.9063077870366499` |
0.898794046299167` |
0.8910065241883679` |
0.882947592858927` |
0.8746197071393957` |
0.8660254037844386` |
0.8571673007021123` |
0.848048096156426` |
0.838670567945424` |
0.8290375725550417` |
0.8191520442889918` |
0.8090169943749475` |
0.7986355100472928` |
0.7880107536067219` |
0.7771459614569709` |
0.766044443118978` |
0.754709580222772` |
0.7431448254773942` |
0.7313537016191705` |
0.7193398003386512` |
0.7071067811865475` |
0.6946583704589974` |
0.6819983600624985` |
0.6691306063588582` |
0.6560590289905074` |
0.6427876096865394` |
0.6293203910498375` |
0.6156614753256583` |
0.6018150231520484` |
0.5877852522924731` |
0.5735764363510462` |
0.5591929034707468` |
0.5446390350150272` |
0.5299192642332049` |
0.5150380749100544` |
0.5` |
0.4848096202463371` |
0.46947156278589086` |
0.4539904997395468` |
0.43837114678907746` |
0.42261826174069944` |
0.4067366430758004` |
0.3907311284892737` |
0.3746065934159122` |
0.35836794954530016` |
0.3420201433256688` |
0.32556815445715676` |
0.30901699437494745` |
0.29237170472273677` |
0.27563735581699916` |
0.2588190451025207` |
0.24192189559966767` |
0.22495105434386514` |
0.20791169081775923` |
0.19080899537654492` |
0.17364817766693041` |
0.15643446504023092` |
0.13917310096006547` |
0.12186934340514749` |
0.10452846326765346` |
0.08715574274765836` |
0.06975647374412523` |
0.052335956242943966` |
0.03489949670250108` |
0.0174524064372836` |
0.` |
![[Graphics:Images/harj3_gr_4.gif]](Images/harj3_gr_4.gif)
Ensin sijoitetaan vektorit muistiin.
![[Graphics:Images/harj3_gr_5.gif]](Images/harj3_gr_5.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_7.gif]](Images/harj3_gr_7.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_9.gif]](Images/harj3_gr_9.gif)
Sitten muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se.
![[Graphics:Images/harj3_gr_11.gif]](Images/harj3_gr_11.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_14.gif]](Images/harj3_gr_14.gif)
Tallennetaan pisteet.
![[Graphics:Images/harj3_gr_15.gif]](Images/harj3_gr_15.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_17.gif]](Images/harj3_gr_17.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_19.gif]](Images/harj3_gr_19.gif)
Luodaan kylkien suuntaiset vektorit ja niiden yksikkövektorit.
![[Graphics:Images/harj3_gr_21.gif]](Images/harj3_gr_21.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_23.gif]](Images/harj3_gr_23.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_25.gif]](Images/harj3_gr_25.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_27.gif]](Images/harj3_gr_27.gif)
Lasketaan puolittajan suuntavektori.
![[Graphics:Images/harj3_gr_30.gif]](Images/harj3_gr_30.gif)
Yksikkövektori saadaan vaatimalla puolittajan pituudeksi yksi.
![[Graphics:Images/harj3_gr_32.gif]](Images/harj3_gr_32.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_34.gif]](Images/harj3_gr_34.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_35.gif]](Images/harj3_gr_35.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_37.gif]](Images/harj3_gr_37.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_39.gif]](Images/harj3_gr_39.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_41.gif]](Images/harj3_gr_41.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_43.gif]](Images/harj3_gr_43.gif)
Haetaan normaalivektori pistetuloa käyttäen ja vaaditaan, että sen pituus on 1.
![[Graphics:Images/harj3_gr_45.gif]](Images/harj3_gr_45.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_47.gif]](Images/harj3_gr_47.gif)
Helpoiten tason normaalivektorin saa ottamalla ristitulon. Jos et ole törmännyt lukiossa vielä ristituloon. Tässä vaiheessa todettakoon, että ristitulo antaa kahta vektoria vastaan kohtisuoran vektorin. Se lasketaan mathematicalla Cross[]-komennolla. Ristituloon törmäät myöhemmin matematiikan peruskursseilla
![[Graphics:Images/harj3_gr_50.gif]](Images/harj3_gr_50.gif)
Vaaditaan, että sen pituus on 1.
![[Graphics:Images/harj3_gr_52.gif]](Images/harj3_gr_52.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_54.gif]](Images/harj3_gr_54.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_56.gif]](Images/harj3_gr_56.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_57.gif]](Images/harj3_gr_57.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_58.gif]](Images/harj3_gr_58.gif)
Nähdään, että tarkat arvot ovat erikoisia Root-juuria.
![[Graphics:Images/harj3_gr_60.gif]](Images/harj3_gr_60.gif)
Nähdään, että reaalisia juuria on yksi:
![[Graphics:Images/harj3_gr_62.gif]](Images/harj3_gr_62.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_64.gif]](Images/harj3_gr_64.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_66.gif]](Images/harj3_gr_66.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_68.gif]](Images/harj3_gr_68.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_70.gif]](Images/harj3_gr_70.gif)
372.15991951294745` |
48.37273957648071` |
39.07071317160149` |
38.24912569433003` |
38.1679746662833` |
38.15986956574591` |
Yhtälön toteutumisessa oleva virhe on n. 40-kertainen juuren arvossa olevaan virheeseen nähden.
![[Graphics:Images/harj3_gr_71.gif]](Images/harj3_gr_71.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_72.gif]](Images/harj3_gr_72.gif)
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava.
![[Graphics:Images/harj3_gr_74.gif]](Images/harj3_gr_74.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_76.gif]](Images/harj3_gr_76.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_78.gif]](Images/harj3_gr_78.gif)
Esimerkkiyhtälö
![[Graphics:Images/harj3_gr_80.gif]](Images/harj3_gr_80.gif)
![]() |
|||
|
|
||
![]() |
![]() |
||
![]() |
Tehtävässä on valitettavasti painovirhe. Ensimmäisen vakiotermin pitäisi kaikissa tapauksissa olla 11. Ohessa tehtävä korjatussa muodossa.
a)
![[Graphics:Images/harj3_gr_87.gif]](Images/harj3_gr_87.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_88.gif]](Images/harj3_gr_88.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_90.gif]](Images/harj3_gr_90.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_92.gif]](Images/harj3_gr_92.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_94.gif]](Images/harj3_gr_94.gif)
b)
![[Graphics:Images/harj3_gr_96.gif]](Images/harj3_gr_96.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_98.gif]](Images/harj3_gr_98.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_100.gif]](Images/harj3_gr_100.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_102.gif]](Images/harj3_gr_102.gif)
Ei löytynyt ratkaisua.
![[Graphics:Images/harj3_gr_104.gif]](Images/harj3_gr_104.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_106.gif]](Images/harj3_gr_106.gif)
Havaitaan, että nämä suorat ovat yhdensuuntaiset ⇒ Ratkaisuja 0 kpl.
c)
![[Graphics:Images/harj3_gr_108.gif]](Images/harj3_gr_108.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_110.gif]](Images/harj3_gr_110.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_112.gif]](Images/harj3_gr_112.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_114.gif]](Images/harj3_gr_114.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_117.gif]](Images/harj3_gr_117.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_119.gif]](Images/harj3_gr_119.gif)
Havaitaan että suorat yhtyvät. Ratkaisuja on äärettömän monta.
![[Graphics:Images/harj3_gr_121.gif]](Images/harj3_gr_121.gif)
Tallennetaan funktio:
![[Graphics:Images/harj3_gr_122.gif]](Images/harj3_gr_122.gif)
Yritetään kokeeksi ratkaista juuria.
![[Graphics:Images/harj3_gr_123.gif]](Images/harj3_gr_123.gif)
Piirretään kuvaajat ja havaitaan, että juuria on äärettömän monta.
![[Graphics:Images/harj3_gr_126.gif]](Images/harj3_gr_126.gif)
Kolme pienintä juurta ovat:
![[Graphics:Images/harj3_gr_129.gif]](Images/harj3_gr_129.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_131.gif]](Images/harj3_gr_131.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_133.gif]](Images/harj3_gr_133.gif)
Numeerisesti funktion juuria saadaan niin monta kuin halutaan. Silloin täytyy käyttää esim. Newtonin menetelmää, jota FindRoot käyttää. Algebrallisesti niitä ei saa yhtään.
![[Graphics:Images/harj3_gr_135.gif]](Images/harj3_gr_135.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_136.gif]](Images/harj3_gr_136.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_138.gif]](Images/harj3_gr_138.gif)
Piirretään funktiot samaan kuvaajaan siten, että funktio2 on vihreän värinen.
![[Graphics:Images/harj3_gr_140.gif]](Images/harj3_gr_140.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_141.gif]](Images/harj3_gr_141.gif)
Etsitään ratkaisuja käyttämällä useampiulotteista Newtonin menetelmää.
![[Graphics:Images/harj3_gr_144.gif]](Images/harj3_gr_144.gif)
![[Graphics:Images/harj3_gr_146.gif]](Images/harj3_gr_146.gif)
Kuvaajan perusteella juuria ei ole useampia.