Mat-1.100 / elokuu 2002
Harjoitus 4, malliratkaisut

Tehtävä 35

Kirjoitetaan yleinen ympyrän yhtälö keskipisteenä (x0,y0) ja säteenä R.

[Graphics:Images/harj4_gr_1.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_2.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_3.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_4.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_5.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_6.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_7.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_8.gif]

Sijoitetaan pisteet ympyrään ja muodostetaan näistä 3 yhtälöä.

[Graphics:Images/harj4_gr_9.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_10.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_11.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_12.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_13.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_14.gif]


Ratkaistaan yhtlöryhmä ja lasketaan tulos luonnossa.

[Graphics:Images/harj4_gr_15.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_16.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_17.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_18.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_19.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_20.gif]


Säde on siis 1750 metriä luonnossa.

Tehtävä 37

Polynomien jaollisuusopin nojalla, kun a on n asteisen polynomin P(x) nollakohta, niin on olemassa n-1 asteinen plynomi Q(x) siten että P(x)=(x-a) Q(x). Sovellamme tätä. Koska 2 on polynomin kaksinkertanen nollakohta, niin polynomi on esitettävissä muodossa a (x-2)^2 (x-b), missä a ja b ovat reaalilukuja.

[Graphics:Images/harj4_gr_21.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_22.gif]

Sijoitamme kaksi muuta ehtoa tähän lausekkeeseen ja ratkaisemme saadun yhtälöparin.

[Graphics:Images/harj4_gr_23.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_24.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_25.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_26.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_27.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_28.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_29.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_30.gif]

Sijoitamme saadut kertoimet polynomilausekkeeseen.

[Graphics:Images/harj4_gr_31.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_32.gif]

Tehtävä 42

Funktio [Graphics:Images/harj4_gr_33.gif] on aidosti monotoninen kiinteällä kantaluvulla a>0 ja a<>1,joten kuvaus x->[Graphics:Images/harj4_gr_34.gif]  on bijektio R->[Graphics:Images/harj4_gr_35.gif]. Tällöin käänteisfunktio on olemassa ja tätä kutsutaan logaritmifunktioksi [Graphics:Images/harj4_gr_36.gif].Siis  [Graphics:Images/harj4_gr_37.gif] on kuvaus [Graphics:Images/harj4_gr_38.gif] ->R (kun a>0 ja a<>1).

Kuvaaja voidaan kuitenkin piirtää suruttomasti:

[Graphics:Images/harj4_gr_39.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_40.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_41.gif]

Mitä tapahtuu kohdassa [Graphics:Images/harj4_gr_42.gif]?

Tehtävä 44

Määrittelemme funktion,jossa parametreina annamme haluamme kertoimet p ja q.Katso myös luento 2:n muita tapoja funtion määrittelyyn.

[Graphics:Images/harj4_gr_43.gif]


Kutsutaan funktiota parametreillä (1,4).

[Graphics:Images/harj4_gr_44.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_45.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_46.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_47.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_48.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_49.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_50.gif]

Tehtävä 45


Käytetään optiota PlotPoints Parametric3D-käskyssä kuvan tarkentamiseen. Suurempi luku parantaa kuvaa.

[Graphics:Images/harj4_gr_51.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_52.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_53.gif]

Tehtävä 48

[Graphics:Images/harj4_gr_54.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_55.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_56.gif]

Tehtävä 49

ImplicitPlot piirtää kuvaajan implisiittimuodossa määritellystä funktiosta.

[Graphics:Images/harj4_gr_57.gif]
[Graphics:Images/harj4_gr_58.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_59.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_60.gif]

Tehtävä 50

Vertaa tehtävää 42 yhtälön oikean ja vasemman puolen määrittelyn suhteen. Tässä täytyy olla {(x,y); x>0,y>0 ja x<>1, y<>1}.

[Graphics:Images/harj4_gr_61.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_62.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_63.gif]

Suruton piirtäminen tuo kuvioon liikaa viivoja. Mitkä ovat liikaa?

Tehtävä 76

[Graphics:Images/harj4_gr_64.gif]

Kartion pohjan säde r, sivujana s, korkeus h; pallon säde R; segmentin korkeus x.

arvot= {r->6.6,s->11.0,h->Sqrt[11.0^2-6.6^2]}
[Graphics:Images/harj4_gr_65.gif]

Yhdenmuotoisista kolmioista:

pallonsade= Solve[r/s == R/(h-x+R),R]
[Graphics:Images/harj4_gr_66.gif]

Segmentin tilavuus ja tämän derivaatta:

Vsegm= Pi x^2 (R - x/3)/.First[pallonsade]
[Graphics:Images/harj4_gr_67.gif]
Vder= D[Vsegm,x]
[Graphics:Images/harj4_gr_68.gif]
nollakohdat= Solve[Vder==0,x]
[Graphics:Images/harj4_gr_69.gif]
nollakohdat /. arvot
[Graphics:Images/harj4_gr_70.gif]

Derivaatan nollakohdista vain jälkimmäinen on alueessa:

R/.First[pallonsade]/.Last[nollakohdat]/.arvot
[Graphics:Images/harj4_gr_71.gif]
Plot[Vsegm /. arvot, {x, 0, 8}]

[Graphics:Images/harj4_gr_72.gif]

[Graphics:Images/harj4_gr_73.gif]

Kyseessä on siis maksimikohta.

Vastaus: 6.0 cm


Converted by Mathematica      August 26, 2002