Mat-1.100 Harjoitus 3: Malliratkaisut

5.

Lasketaan käyttäen asteita.

[Graphics:Images/harj3_gr_1.gif]
0.`
0.01745240643728351`
0.03489949670250097`
0.052335956242943835`
0.0697564737441253`
0.08715574274765817`
0.10452846326765347`
0.12186934340514748`
0.13917310096006544`
0.15643446504023087`
0.17364817766693033`
0.1908089953765448`
0.20791169081775934`
0.224951054343865`
0.24192189559966773`
0.2588190451025207`
0.27563735581699916`
0.29237170472273677`
0.30901699437494745`
0.3255681544571567`
0.3420201433256687`
0.35836794954530027`
0.374606593415912`
0.39073112848927377`
0.4067366430758002`
0.42261826174069944`
0.4383711467890774`
0.45399049973954675`
0.4694715627858908`
0.48480962024633706`
0.5`
0.5150380749100542`
0.5299192642332049`
0.5446390350150271`
0.5591929034707469`
0.573576436351046`
0.5877852522924731`
0.6018150231520483`
0.6156614753256583`
0.6293203910498374`
0.6427876096865393`
0.6560590289905073`
0.6691306063588582`
0.6819983600624985`
0.6946583704589973`
0.7071067811865475`
0.7193398003386511`
0.7313537016191705`
0.7431448254773942`
0.754709580222772`
0.766044443118978`
0.7771459614569709`
0.788010753606722`
0.7986355100472928`
0.8090169943749475`
0.8191520442889918`
0.8290375725550417`
0.838670567945424`
0.848048096156426`
0.8571673007021123`
0.8660254037844386`
0.8746197071393957`
0.8829475928589269`
0.8910065241883678`
0.898794046299167`
0.9063077870366499`
0.9135454576426009`
0.9205048534524404`
0.9271838545667874`
0.9335804264972017`
0.9396926207859083`
0.9455185755993167`
0.9510565162951535`
0.9563047559630354`
0.9612616959383189`
0.9659258262890682`
0.9702957262759965`
0.9743700647852352`
0.9781476007338056`
0.981627183447664`
0.984807753012208`
0.9876883405951378`
0.9902680687415704`
0.992546151641322`
0.9945218953682733`
0.9961946980917455`
0.9975640502598242`
0.9986295347545738`
0.9993908270190958`
0.9998476951563913`
1.`

Lasketaan käyttäen radiaaneja. Muistetaan että 1 aste on [Graphics:Images/harj3_gr_2.gif]

[Graphics:Images/harj3_gr_3.gif]
1.`
0.9998476951563913`
0.9993908270190958`
0.9986295347545738`
0.9975640502598242`
0.9961946980917455`
0.9945218953682733`
0.992546151641322`
0.9902680687415704`
0.9876883405951378`
0.984807753012208`
0.981627183447664`
0.9781476007338057`
0.9743700647852352`
0.9702957262759965`
0.9659258262890682`
0.9612616959383189`
0.9563047559630355`
0.9510565162951535`
0.9455185755993168`
0.9396926207859084`
0.9335804264972017`
0.9271838545667874`
0.9205048534524404`
0.9135454576426009`
0.9063077870366499`
0.898794046299167`
0.8910065241883679`
0.882947592858927`
0.8746197071393957`
0.8660254037844386`
0.8571673007021123`
0.848048096156426`
0.838670567945424`
0.8290375725550417`
0.8191520442889918`
0.8090169943749475`
0.7986355100472928`
0.7880107536067219`
0.7771459614569709`
0.766044443118978`
0.754709580222772`
0.7431448254773942`
0.7313537016191705`
0.7193398003386512`
0.7071067811865475`
0.6946583704589974`
0.6819983600624985`
0.6691306063588582`
0.6560590289905074`
0.6427876096865394`
0.6293203910498375`
0.6156614753256583`
0.6018150231520484`
0.5877852522924731`
0.5735764363510462`
0.5591929034707468`
0.5446390350150272`
0.5299192642332049`
0.5150380749100544`
0.5`
0.4848096202463371`
0.46947156278589086`
0.4539904997395468`
0.43837114678907746`
0.42261826174069944`
0.4067366430758004`
0.3907311284892737`
0.3746065934159122`
0.35836794954530016`
0.3420201433256688`
0.32556815445715676`
0.30901699437494745`
0.29237170472273677`
0.27563735581699916`
0.2588190451025207`
0.24192189559966767`
0.22495105434386514`
0.20791169081775923`
0.19080899537654492`
0.17364817766693041`
0.15643446504023092`
0.13917310096006547`
0.12186934340514749`
0.10452846326765346`
0.08715574274765836`
0.06975647374412523`
0.052335956242943966`
0.03489949670250108`
0.0174524064372836`
0.`

89.

[Graphics:Images/harj3_gr_4.gif]

Ensin sijoitetaan vektorit muistiin.

[Graphics:Images/harj3_gr_5.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_6.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_7.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_8.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_9.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_10.gif]

Sitten muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se.

[Graphics:Images/harj3_gr_11.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_12.gif]

[Graphics:Images/harj3_gr_13.gif]

90.

[Graphics:Images/harj3_gr_14.gif]

Tallennetaan pisteet.

[Graphics:Images/harj3_gr_15.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_16.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_17.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_18.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_19.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_20.gif]

Luodaan kylkien suuntaiset vektorit ja niiden yksikkövektorit.

[Graphics:Images/harj3_gr_21.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_22.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_23.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_24.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_25.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_26.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_27.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_28.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_29.gif]

Lasketaan puolittajan suuntavektori.

[Graphics:Images/harj3_gr_30.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_31.gif]

Yksikkövektori saadaan vaatimalla puolittajan pituudeksi yksi.

[Graphics:Images/harj3_gr_32.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_33.gif]

91.

[Graphics:Images/harj3_gr_34.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_35.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_36.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_37.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_38.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_39.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_40.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_41.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_42.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_43.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_44.gif]

Haetaan normaalivektori pistetuloa käyttäen ja vaaditaan, että sen pituus on 1.

[Graphics:Images/harj3_gr_45.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_46.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_47.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_48.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_49.gif]

Helpoiten tason normaalivektorin saa ottamalla ristitulon. Jos et ole törmännyt lukiossa vielä ristituloon. Tässä vaiheessa todettakoon, että ristitulo antaa kahta vektoria vastaan kohtisuoran vektorin. Se lasketaan mathematicalla Cross[]-komennolla. Ristituloon törmäät myöhemmin  matematiikan peruskursseilla

[Graphics:Images/harj3_gr_50.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_51.gif]

Vaaditaan, että sen pituus on 1.

[Graphics:Images/harj3_gr_52.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_53.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_54.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_55.gif]

23.

[Graphics:Images/harj3_gr_56.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_57.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_58.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_59.gif]

Nähdään, että tarkat arvot ovat erikoisia Root-juuria.

[Graphics:Images/harj3_gr_60.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_61.gif]

Nähdään, että reaalisia juuria on yksi:

[Graphics:Images/harj3_gr_62.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_63.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_64.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_65.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_66.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_67.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_68.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_69.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_70.gif]
372.15991951294745`
48.37273957648071`
39.07071317160149`
38.24912569433003`
38.1679746662833`
38.15986956574591`

Yhtälön toteutumisessa oleva virhe on n. 40-kertainen juuren arvossa olevaan virheeseen nähden.

24.

[Graphics:Images/harj3_gr_71.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_72.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_73.gif]

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava.

[Graphics:Images/harj3_gr_74.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_75.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_76.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_77.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_78.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_79.gif]

Esimerkkiyhtälö

[Graphics:Images/harj3_gr_80.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_81.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_82.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_83.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_84.gif] [Graphics:Images/harj3_gr_85.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_86.gif]

30.

Tehtävässä on valitettavasti painovirhe. Ensimmäisen vakiotermin pitäisi kaikissa tapauksissa olla 11. Ohessa tehtävä korjatussa muodossa.

a)

[Graphics:Images/harj3_gr_87.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_88.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_89.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_90.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_91.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_92.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_93.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_94.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_95.gif]

b)

[Graphics:Images/harj3_gr_96.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_97.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_98.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_99.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_100.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_101.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_102.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_103.gif]

Ei löytynyt ratkaisua.

[Graphics:Images/harj3_gr_104.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_105.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_106.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_107.gif]

Havaitaan, että nämä suorat ovat yhdensuuntaiset ⇒ Ratkaisuja 0 kpl.
c)

[Graphics:Images/harj3_gr_108.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_109.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_110.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_111.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_112.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_113.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_114.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_115.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_116.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_117.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_118.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_119.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_120.gif]

Havaitaan että suorat yhtyvät. Ratkaisuja on äärettömän monta.

33.

[Graphics:Images/harj3_gr_121.gif]

Tallennetaan funktio:

[Graphics:Images/harj3_gr_122.gif]

Yritetään kokeeksi  ratkaista juuria.

[Graphics:Images/harj3_gr_123.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_124.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_125.gif]

Piirretään kuvaajat ja havaitaan, että juuria on äärettömän monta.

[Graphics:Images/harj3_gr_126.gif]

[Graphics:Images/harj3_gr_127.gif]

[Graphics:Images/harj3_gr_128.gif]

Kolme pienintä juurta ovat:

[Graphics:Images/harj3_gr_129.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_130.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_131.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_132.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_133.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_134.gif]

Numeerisesti funktion juuria saadaan niin monta kuin halutaan. Silloin täytyy käyttää esim. Newtonin menetelmää, jota FindRoot käyttää. Algebrallisesti niitä ei saa yhtään.

34.

[Graphics:Images/harj3_gr_135.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_136.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_137.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_138.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_139.gif]

Piirretään funktiot samaan kuvaajaan siten, että funktio2 on vihreän värinen.

[Graphics:Images/harj3_gr_140.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_141.gif]

[Graphics:Images/harj3_gr_142.gif]

[Graphics:Images/harj3_gr_143.gif]

Etsitään ratkaisuja käyttämällä useampiulotteista Newtonin menetelmää.

[Graphics:Images/harj3_gr_144.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_145.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_146.gif]
[Graphics:Images/harj3_gr_147.gif]

Kuvaajan perusteella juuria ei ole useampia.


Converted by Mathematica      August 22, 2002