![[Graphics:Images/harj5_gr_1.gif]](Images/harj5_gr_1.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_3.gif]](Images/harj5_gr_3.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_5.gif]](Images/harj5_gr_5.gif)
Hyväkään sievennyskomentojen käyttäjä ei välttämättä osaisi sanoa, että juuri edellä oleva johtaa haluttuun tulokseen. On vain kokeiltava ja etsittävä tällä tavoin sopivat komennot.
![[Graphics:Images/harj5_gr_7.gif]](Images/harj5_gr_7.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_9.gif]](Images/harj5_gr_9.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_11.gif]](Images/harj5_gr_11.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_13.gif]](Images/harj5_gr_13.gif)
Osamurtokehitelmän muodostamisessa on oleellista, että nimittäjä saadaan jaetuksi tekijöihin. Pienikin muutos nimittäjän kertoimissa muuttaa tekijöihin jaon helppoutta oleellisesti.
![[Graphics:Images/harj5_gr_15.gif]](Images/harj5_gr_15.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_17.gif]](Images/harj5_gr_17.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_19.gif]](Images/harj5_gr_19.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_21.gif]](Images/harj5_gr_21.gif)
Lauseke ei ole sievennettävissä, jos muuttuja voi olla mikä tahansa kompleksiluku. Tarvitaan joko lisäoletus tai on vain käskettävä raa'asti sieventämän.
![[Graphics:Images/harj5_gr_24.gif]](Images/harj5_gr_24.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_26.gif]](Images/harj5_gr_26.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_28.gif]](Images/harj5_gr_28.gif)
Trigonometristen funktioiden sieventämiseen on omat komentonsa.
![[Graphics:Images/harj5_gr_30.gif]](Images/harj5_gr_30.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_32.gif]](Images/harj5_gr_32.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_34.gif]](Images/harj5_gr_34.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_36.gif]](Images/harj5_gr_36.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_38.gif]](Images/harj5_gr_38.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_40.gif]](Images/harj5_gr_40.gif)
Ei edes tarvita mitään komentoja!
![[Graphics:Images/harj5_gr_42.gif]](Images/harj5_gr_42.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_44.gif]](Images/harj5_gr_44.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_46.gif]](Images/harj5_gr_46.gif)
Verrattavissa a-kohtaan.
![[Graphics:Images/harj5_gr_48.gif]](Images/harj5_gr_48.gif)
Verrattavissa e-kohtaan.
![[Graphics:Images/harj5_gr_50.gif]](Images/harj5_gr_50.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_52.gif]](Images/harj5_gr_52.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_54.gif]](Images/harj5_gr_54.gif)
Verrattavissa f-kohtaan.
![[Graphics:Images/harj5_gr_56.gif]](Images/harj5_gr_56.gif)
Juuret olkoot a[1], a[2], a[3] jne.
![[Graphics:Images/harj5_gr_57.gif]](Images/harj5_gr_57.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_58.gif]](Images/harj5_gr_58.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_60.gif]](Images/harj5_gr_60.gif)
![]() |
![]() |
![]() |
1 |
Yleisesti:
![[Graphics:Images/harj5_gr_64.gif]](Images/harj5_gr_64.gif)
2 |
|
||||||
3 |
|
||||||
4 |
|
||||||
5 |
|
Tutki kertoimia! Miten luonnehdit sanoin eri potenssien kertoimet?
![[Graphics:Images/harj5_gr_79.gif]](Images/harj5_gr_79.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_81.gif]](Images/harj5_gr_81.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_83.gif]](Images/harj5_gr_83.gif)
Ehtona ilmeisestikin on
![[Graphics:Images/harj5_gr_85.gif]](Images/harj5_gr_85.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_87.gif]](Images/harj5_gr_87.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_88.gif]](Images/harj5_gr_88.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_90.gif]](Images/harj5_gr_90.gif)
Kaksi pystyviivaa on lyhenne Mathematican funtkiolle Or (= tai).
Lopuksi kuvio sellaisista tapauksista, jossa em. ehto ei ole voimassa.
![[Graphics:Images/harj5_gr_92.gif]](Images/harj5_gr_92.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_93.gif]](Images/harj5_gr_93.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_96.gif]](Images/harj5_gr_96.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_97.gif]](Images/harj5_gr_97.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_98.gif]](Images/harj5_gr_98.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_99.gif]](Images/harj5_gr_99.gif)
1 | 6 |
2 | 6 |
3 | 6 |
4 | 6 |
5 | 6 |
6 | 6 |
7 | 6 |
8 | 6 |
9 | 6 |
10 | 6 |
11 | 6 |
12 | 7 |
13 | 8 |
14 | 9 |
15 | 10 |
16 | 11 |
17 | 12 |
18 | 13 |
19 | 14 |
20 | 15 |
Funktiolla Trace voidaan selvittää, miten rekursiivinen laskenta etenee.
![[Graphics:Images/harj5_gr_100.gif]](Images/harj5_gr_100.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_102.gif]](Images/harj5_gr_102.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_103.gif]](Images/harj5_gr_103.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_104.gif]](Images/harj5_gr_104.gif)
1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 2 | 0 | 0 | 0 |
1 | 6 | 6 | 0 | 0 |
1 | 14 | 36 | 24 | 0 |
1 | 30 | 150 | 240 | 120 |
Jos , ei kaikkia joukon
alkioita voida saada kuvina, ts. surjektioita ei ole. Taulukon oikea ylänurkka muodostuu siten nollista.
Jos , voidaan ajatella, että
Surjektiot ovat tällöin joukon
alkioiden permutaatioita (erilaisia järjestyksiä). Näiden lukumäärä on
.
Rekursiokaava on muodostettu seuraavalla idealla: on kaikkien funktioiden
lukumäärä. Tästä on vähennettävä ne, jotka ovat surjektioita jollekin suppeammalle joukolle, jolloin jää jäljelle surjetiot koko joukolle
.
![[Graphics:Images/harj5_gr_114.gif]](Images/harj5_gr_114.gif)
Kyseessä on geometrinen sarja, jonka suhdeluku on
![[Graphics:Images/harj5_gr_115.gif]](Images/harj5_gr_115.gif)
Selvitetään, milloin sarja suppenee:
![[Graphics:Images/harj5_gr_117.gif]](Images/harj5_gr_117.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_118.gif]](Images/harj5_gr_118.gif)
Määritellään sarjan summafunktio:
![[Graphics:Images/harj5_gr_120.gif]](Images/harj5_gr_120.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_122.gif]](Images/harj5_gr_122.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_124.gif]](Images/harj5_gr_124.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_131.gif]](Images/harj5_gr_131.gif)
![[Graphics:Images/harj5_gr_132.gif]](Images/harj5_gr_132.gif)
Alle 200 g painavien prosenttiosuus:
![[Graphics:Images/harj5_gr_134.gif]](Images/harj5_gr_134.gif)
Välillä 200 g -- 210 g olevien prosenttiosuus:
![[Graphics:Images/harj5_gr_136.gif]](Images/harj5_gr_136.gif)
CDF = cumulative distribution function = kertymäfunktio