Mat-1.100 / elokuu 2002
Harjoitus 5, malliratkaisut

Tehtävä 13

[Graphics:Images/harj5_gr_1.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_2.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_3.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_4.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_5.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_6.gif]

Hyväkään sievennyskomentojen käyttäjä ei välttämättä osaisi sanoa, että juuri edellä oleva johtaa haluttuun tulokseen. On vain kokeiltava ja etsittävä tällä tavoin sopivat komennot.

Tehtävä 15

[Graphics:Images/harj5_gr_7.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_8.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_9.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_10.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_11.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_12.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_13.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_14.gif]

Osamurtokehitelmän muodostamisessa on oleellista, että nimittäjä saadaan jaetuksi tekijöihin. Pienikin muutos nimittäjän kertoimissa muuttaa tekijöihin jaon helppoutta oleellisesti.

Tehtävä 17

a)

[Graphics:Images/harj5_gr_15.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_16.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_17.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_18.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_19.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_20.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_21.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_22.gif]

Lauseke ei ole sievennettävissä, jos muuttuja [Graphics:Images/harj5_gr_23.gif] voi olla mikä tahansa kompleksiluku. Tarvitaan joko lisäoletus tai on vain käskettävä raa'asti sieventämän.

b)

[Graphics:Images/harj5_gr_24.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_25.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_26.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_27.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_28.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_29.gif]

Trigonometristen funktioiden sieventämiseen on omat komentonsa.

c)

[Graphics:Images/harj5_gr_30.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_31.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_32.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_33.gif]

d)

[Graphics:Images/harj5_gr_34.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_35.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_36.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_37.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_38.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_39.gif]

e)

[Graphics:Images/harj5_gr_40.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_41.gif]

Ei edes tarvita mitään komentoja!

f)

[Graphics:Images/harj5_gr_42.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_43.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_44.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_45.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_46.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_47.gif]

Verrattavissa a-kohtaan.

g)

[Graphics:Images/harj5_gr_48.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_49.gif]

Verrattavissa e-kohtaan.

h)

[Graphics:Images/harj5_gr_50.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_51.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_52.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_53.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_54.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_55.gif]

Verrattavissa f-kohtaan.

[Graphics:Images/harj5_gr_56.gif]

Tehtävä 20

Juuret olkoot a[1], a[2], a[3] jne.

[Graphics:Images/harj5_gr_57.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_58.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_59.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_60.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_61.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_62.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_63.gif]
1

Yleisesti:

[Graphics:Images/harj5_gr_64.gif]
2
[Graphics:Images/harj5_gr_65.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_66.gif]
1
3
[Graphics:Images/harj5_gr_67.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_68.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_69.gif]
1
4
[Graphics:Images/harj5_gr_70.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_71.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_72.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_73.gif]
1
5
[Graphics:Images/harj5_gr_74.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_75.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_76.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_77.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_78.gif]
1

Tutki kertoimia! Miten luonnehdit sanoin eri potenssien kertoimet?

Tehtävä 31

[Graphics:Images/harj5_gr_79.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_80.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_81.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_82.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_83.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_84.gif]

Ehtona ilmeisestikin on

[Graphics:Images/harj5_gr_85.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_86.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_87.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_88.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_89.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_90.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_91.gif]

Kaksi pystyviivaa on lyhenne Mathematican funtkiolle Or (= tai).

Lopuksi kuvio sellaisista tapauksista, jossa em. ehto ei ole voimassa.

[Graphics:Images/harj5_gr_92.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_93.gif]

[Graphics:Images/harj5_gr_94.gif]

[Graphics:Images/harj5_gr_95.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_96.gif]

Tehtävä 58

[Graphics:Images/harj5_gr_97.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_98.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_99.gif]
1 6
2 6
3 6
4 6
5 6
6 6
7 6
8 6
9 6
10 6
11 6
12 7
13 8
14 9
15 10
16 11
17 12
18 13
19 14
20 15

Funktiolla Trace voidaan selvittää, miten rekursiivinen laskenta etenee.

[Graphics:Images/harj5_gr_100.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_101.gif]

Tehtävä 59

[Graphics:Images/harj5_gr_102.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_103.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_104.gif]
1 0 0 0 0
1 2 0 0 0
1 6 6 0 0
1 14 36 24 0
1 30 150 240 120

Jos [Graphics:Images/harj5_gr_105.gif], ei kaikkia joukon [Graphics:Images/harj5_gr_106.gif] alkioita voida saada kuvina, ts. surjektioita ei ole. Taulukon oikea ylänurkka muodostuu siten nollista.

Jos [Graphics:Images/harj5_gr_107.gif], voidaan ajatella, että [Graphics:Images/harj5_gr_108.gif]Surjektiot ovat tällöin joukon [Graphics:Images/harj5_gr_109.gif] alkioiden permutaatioita (erilaisia järjestyksiä). Näiden lukumäärä on [Graphics:Images/harj5_gr_110.gif].

Rekursiokaava on muodostettu seuraavalla idealla: [Graphics:Images/harj5_gr_111.gif]on kaikkien funktioiden [Graphics:Images/harj5_gr_112.gif] lukumäärä. Tästä on vähennettävä ne, jotka ovat surjektioita jollekin suppeammalle joukolle, jolloin jää jäljelle surjetiot koko joukolle [Graphics:Images/harj5_gr_113.gif].

[Graphics:Images/harj5_gr_114.gif]

Tehtävä 88

Kyseessä on geometrinen sarja, jonka suhdeluku on

[Graphics:Images/harj5_gr_115.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_116.gif]

Selvitetään, milloin sarja suppenee:

[Graphics:Images/harj5_gr_117.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_118.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_119.gif]

Määritellään sarjan summafunktio:

[Graphics:Images/harj5_gr_120.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_121.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_122.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_123.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_124.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_125.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_126.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_127.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_128.gif]

[Graphics:Images/harj5_gr_129.gif]

[Graphics:Images/harj5_gr_130.gif]

Tehtävä 94

[Graphics:Images/harj5_gr_131.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_132.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_133.gif]

Alle 200 g painavien prosenttiosuus:

[Graphics:Images/harj5_gr_134.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_135.gif]

Välillä 200 g -- 210 g olevien prosenttiosuus:

[Graphics:Images/harj5_gr_136.gif]
[Graphics:Images/harj5_gr_137.gif]

CDF = cumulative distribution function = kertymäfunktio


Converted by Mathematica      August 25, 2002