Simo K. Kivelä / 29.9.1999

Tienmutka

Tehtävä:

Oletetaan, että maantiessä oleva mutka on peruskartalla käyrän

[Graphics:Images/tie_gr_1.gif]

muotoinen, yksikkönä senttimetri. Tien kaarevuussäde kohdassa x voidaan laskea lausekkeesta

[Graphics:Images/tie_gr_2.gif]

Peruskartan mittakaava on 1:20 000. Mikä on kaarevuussäteen pienin arvo, ts. arvo siinä kohdassa, missä tie kaartuu jyrkimmin?

Ratkaisu Mathematicalla:

Syötetään funktion lauseke, talletetaan se nimelle f ja piirretään kuvaaja:

[Graphics:Images/tie_gr_3.gif]
[Graphics:Images/tie_gr_4.gif]
[Graphics:Images/tie_gr_5.gif]

[Graphics:Images/tie_gr_6.gif]

[Graphics:Images/tie_gr_7.gif]

Muodostetaan kaarevuussäteen lauseke sievennetyssä muodossa ja talletetaan tämä nimelle r:

[Graphics:Images/tie_gr_8.gif]
[Graphics:Images/tie_gr_9.gif]

Minimin hakemiseksi muodostetaan derivaatta ja haetaan sen nollakohta numeerisesti; alkuarvo numeerista ratkaisemista varten saadaan graafisesti:

[Graphics:Images/tie_gr_10.gif]
[Graphics:Images/tie_gr_11.gif]
[Graphics:Images/tie_gr_12.gif]

[Graphics:Images/tie_gr_13.gif]

[Graphics:Images/tie_gr_14.gif]
[Graphics:Images/tie_gr_15.gif]
[Graphics:Images/tie_gr_16.gif]

Vastaava kaarevuussäteen minimiarvo saadaan sijoittamalla nollakohta kaarevuussäteen lausekkeeseen:

[Graphics:Images/tie_gr_17.gif]
[Graphics:Images/tie_gr_18.gif]

Lopuksi otetaan huomioon kartan mittakaava ja annetaan tulos metreissä:

[Graphics:Images/tie_gr_19.gif]
[Graphics:Images/tie_gr_20.gif]


Converted by Mathematica      August 7, 2002