Yhtälöiden ratkaiseminen

Newtonin iteraatiomenetelmä

Koetetaan ratkaista yhtälö e-x = sin(x) soveltaen Newtonin iteraatiomenetelmää. Sinifunktio on jaksollinen ja yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja joten se juuri jota kohti iteroidaan, riippuu   muuttujan alkuarvon valinnasta.  Newtonin menetelmässä ratkaistaan funktion nollakohtaa, joten muutetaan edellinen yhtälö muotoon sin(x)-e-x = 0. Iterointi tapahtuu kaavalla : [Graphics:../Images/yhtratk_gr_45.gif]
Alkuarvoksi valitaan x0 = 3.14159. Käytetään nyt hyväksi edellisen kohdan tietoja funktioiden yhdistämisestä.

[Graphics:../Images/yhtratk_gr_47.gif]

Funktion derivaatta:

[Graphics:../Images/yhtratk_gr_48.gif]
[Graphics:../Images/yhtratk_gr_49.gif]
[Graphics:../Images/yhtratk_gr_50.gif]

Iteroitava funktio:

[Graphics:../Images/yhtratk_gr_51.gif]
[Graphics:../Images/yhtratk_gr_52.gif]
[Graphics:../Images/yhtratk_gr_53.gif]
[Graphics:../Images/yhtratk_gr_54.gif]

Mathematicassa komento FindRoot[] käyttää mm. Newtonin menetelmää juurien numeeriseen ratkaisemiseen. Käytetään tätä edellä mainitun yhtälön ratkaisemiseen aloittaen iteroinnin  pisteestä x = 3.14159 :

[Graphics:../Images/yhtratk_gr_55.gif]
[Graphics:../Images/yhtratk_gr_56.gif]
[Graphics:../Images/yhtratk_gr_57.gif]
[Graphics:../Images/yhtratk_gr_58.gif]