Tavalliset differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälön kirjoittaminen

Differentiaaliyhtälössä tuntematon funktio kirjoitetaan argumenttinsa kanssa. Derivaatat kirjoitetaan tavallisesti pilkkua käyttäen. Yhtäsuuruutta merkitään kahdella yhtäsuuruusmerkillä. Kirjoitetaan esimerkkinä differentiaaliyhtälö [Graphics:../Images/gr_552.gif] Mathematican haluamaan muotoon.

[Graphics:../Images/gr_553.gif]

Analyyttinen ratkaiseminen

Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaan analyyttisesti DSolve-komennolla. Ensimmäisenä argumenttina annetaan differentiaaliyhtälö, toisena tuntematon funktio ja kolmantena funktion argumentti.
DSolve[yhtälö,y[x],x]
Vastaus saadaan muunnossääntönä ja yleisen ratkaisun mielivaltaiset vakiot on merkitty symboleilla C[1], C[2] jne...

[Graphics:../Images/gr_554.gif]
[Graphics:../Images/gr_555.gif]

Alkuarvo- tai reuna-arvotehtävässä DSolve-komennon ensimmäinen argumentti on lista, jossa on alkioina differentiaaliyhtälö ja alku- tai reunaehdot yhtälöiksi kirjoitettuina.
DSolve[{yhtälö1,yhtälö2,...},y[x],x]

[Graphics:../Images/gr_556.gif]
[Graphics:../Images/gr_557.gif]
[Graphics:../Images/gr_558.gif]
[Graphics:../Images/gr_559.gif]
[Graphics:../Images/gr_560.gif]
[Graphics:../Images/gr_561.gif]

Differentiaaliyhtälöryhmä ratkaistaan samaan tapaan kuin yksittäinen differentiaaliyhtälö. Alku- ja reuna-arvot kirjoitetaan yhtälölistaan samaan tapaan kuin edellä.
DSolve[{yhtälö1,yhtälö2,...},{y1[x],y2[x],...}, x]

[Graphics:../Images/gr_562.gif]
[Graphics:../Images/gr_563.gif]
[Graphics:../Images/gr_564.gif]
[Graphics:../Images/gr_565.gif]

Mathematica Book
Lisää DSolve-komennosta: luku
3.5.10

Numeerinen ratkaiseminen

Alkuarvotehtävän numeerinen ratkaisu tietyllä välillä saadaan NDSolve-komennolla. Ratkaisu saadaan muunnossääntönä, jossa ratkaisufunktio on paloittain kolmannen asteen interpolaatiopolynomi.
NDSolve-komennon ensimmäisenä argumenttina annetaan lista, joka koostuu differentiaaliyhtälöstä ja alkuehdoista yhtälöiksi kirjoitettuina. Toisena argumenttina on ratkaistava funktio ja kolmantena funktion argumentti.
NDSolve[{yhtälö1, yhtälö2,...}, y[x], {x,xmin,xmax}]

[Graphics:../Images/gr_566.gif]
[Graphics:../Images/gr_567.gif]

Interpolaatiopolynomi voidaan piirtää ja sille voidaan laskea yksittäisiä arvoja.

[Graphics:../Images/gr_568.gif]
[Graphics:../Images/gr_569.gif]
[Graphics:../Images/gr_570.gif]
[Graphics:../Images/gr_571.gif]
[Graphics:../Images/gr_572.gif]

[Graphics:../Images/gr_573.gif]

Differentiaaliyhtälöryhmä ratkaistaan numeerisesti NDSolve-komennolla samaan tapaan kuin yksittäinen differentiaaliyhtälö.
NDSolve[{yhtälö1,yhtälö2,...},{y1,y2,...},{x,xmin,xmax}]

Mathematica Book
Lisää NDSolve-komennosta: luku
3.9.7
Lisää InterpolatingFunction-objektista: luku 3.8.2

Suuntakenttä

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön suuntakenttä voidaan piirtää Graphics`PlotField`-pakettiin sisältyvällä PlotVectorField-komennolla.  Katso: paketin lataaminen
Piirretään esimerkkinä differentiaaliyhtälön [Graphics:../Images/gr_574.gif] suuntakenttä.  Optiolla ScaleFunction piirretään suuntakentän nuolet yhtäpitkiksi.

[Graphics:../Images/gr_575.gif]
[Graphics:../Images/gr_576.gif]

[Graphics:../Images/gr_577.gif]