2.4 Differentiaali- ja integraalilaskentaa
Derivointi
> restart:
Määritellään tarkasteluja varten lauseke f1 ja funktio f2:
> f1:=x^2+5*x;
> f2:=x->x^2+5*x;
Lausekkeiden derivaattoja ja osittaisderivaattoja lasketaan komennolla diff . Komennossa on mainittava lausekkeen lisäksi myös muuttuja, jonka suhteen derivoidaan:
> diff(f1,x);
Komento diff laskee siis annatun lausekkeen derivaatan lausekkeen. Määritellyn funktion derivaattafunktio voidaan puolestaan muodostaa suoraan komennolla D :
> df2:=D(f2);
Korkeamman kertaluvun derivaattoja laskettaessa voidaan muuttuja, jonka suhteen derivoidaan mainita pilkulla eroteltuna niin monta kertaa, kuin on halutun derivaatan kertaluku. Kuitenkin on kätevämpää mainita derivaatan kertaluku dollarimerkin $ avulla.
Määritellään lauseke f3 ja lasketaan sen toinen derivaatta y :n suhteen molemmilla edellä mainituilla tavoilla:
> f3:=y^3+x^2*y^2-sin(y);
> diff(f3,y,y);
> diff(f3,y$2);
Jos halutaan muodostaa määrätyn funktion korkeamman kertaluvun derivaattafunktio, käytetään komentoa D sekä yhdistetyn funktion operaattoria @ .
Funktion f2 toisen kertaluvun derivaattafunktio voidaan siten laskea seuraavasti:
> ddf2:=(D@@2)(f2);
Tuntematonta funktiota voidaan derivoida symbolisessa muodossa komennolla diff :
> diff(g(x)^3,x);
> restart:
Integrointi
> restart:
Yleinen integraali lasketaan komennolla int . Komennossa on mainittava integroitava lauseke sekä muuttuja, jonka suhteen integroidaan. On huomattava, että laskutoimitus ei palauta yleiseen integraaliin kuuluvaa integroimisvakiota.
Määritellään lauseke f1 ja lasketaan sille yleinen integraali:
> f1:=4*x^3+3*x^2+2*x+1;
> int(f1,x);
Määrätty integraali lasketaan antamalla komennossa int muuttujalle ala- ja ylärajat. Määritellään lauseke f2 ja lasketaan sille määrätty integraali välillä [0, 4]:
> f2:=arctan(x);
> int(f2,x=0..4);
Epäoleellinen integraali lasketaan määrätyn integraalin tapaan, mutta ääretöntä tai miinus ääretöntä lähestyvän rajan kohdalle kirjoitetaan infinity tai -infinity :
> integrate(-1/x^2,x=Pi..infinity);
> restart:
Sarjat
Summat ja tulot
> restart:
Summalausekkeita lasketaan komennolla sum :
> sum(3*i,i=1..5);
Tulolausekkeita lasketaan komennolla product :
> product(i,i=1..5);
> restart:
Sarjakehitelmät
> restart:
Peruskomennot, joilla Maplessa muodostetaan funktioiden sarjakehitelmiä, ovat taylor ja series . Komento taylor muodostaa funktion Taylorin sarjan, jos sellainen on olemassa. Komento series muodostaa funktiosta sellaisen sarjakehitelmän, jossa Maple voi hyödyntää myös muiden kuin Taylorin sarjan ominaisuuksia.
Komennossa on mainittava funktio, kehityskeskus sekä muodostettavan sarjakehitelmän aste.
Muodostetaan eksponenttifunktiolle viidennen asteen Taylorin kehitelmä kehityskeskuksena piste x = 4:
> taylor(exp(x),x=4,5);
Jos funktion approksimointia varten halutaan Taylorin kehitelmän perusteella muodostaa vastaava Taylorin polynomi, se muodostetaan komennolla convert .
Muodostetaan eksponenttifunktion kuudennen asteen Taylorin kehitelmä, ja sen perusteella eksponenttifunktion viidennen asteen Taylorin polynomi t1. Prosenttimerkillä % viitataan suoraan edelliseen Maplen tulosteeseen.
> taylor(exp(x),x=4,6);
> t1:=convert(%,polynom);
Lasketaan Taylorin polynomin likiarvo pisteessä x = 3, ja verrataan sitä eksponenttifunktion likiarvoon ko. pisteessä. Numeerinen likiarvo saadaan komennolla evalf .
> evalf(subs(x=3,t1));
> evalf(exp(3));
Komennoilla taylor tai series voidaan laskea myös tuntemattoman funktion Taylorin kehitelmä tai sarjakehitelmä symbolisessa muodossa:
> taylor(f(x),x=5,3);
> restart:
Raja-arvot
> restart:
Lausekkeiden raja-arvoja lasketaan komennolla limit . Komentoon on merkittävä lausekkeen ohella se muuttujan x arvo, jota lauseke lähestyy.
> limit(sin(x)/x,x=0);
Toispuoliset raja-arvot lasketaan antamalla komennolle limit lisämääreenä suunta (reaaliluvuilla left tai right), josta haluttua pistettä lähestytään:
> limit(tan(x),x=Pi/2,left);
> limit(tan(x),x=Pi/2,right);
> limit(1/x,x=0,left);
> limit(1/x,x=0,right);