2.1 Algebralliset sievennykset

Lausekkeiden manipulointi

Polynomit

> restart:

Määritellään tarkasteluja varten polynomit p1 ja p2:

> p1:=(x+2)^4;

[Maple Math]

> p2:=(x-3)*(x+3);

[Maple Math]

Nimilaputettu polynomi saadaan näkyviin antamalla syötteeksi polynomin nimi ja sen perään puolipiste:

> p1;

[Maple Math]

Polynomin aukikertominen tapahtuu komennolla expand . Nimetään aukikerrottu muoto polynomiksi p3:

> p3:=expand(p1);

[Maple Math]

Vastaavasti polynomi voidaan saattaa tulomuotoon komennolla factor :

> factor(p3);

[Maple Math]

> restart:

Murtolausekkeet

> restart:

Määritellään tarkasteluja varten polynomit p1 ja p2:

> p1:=(x+2)^4;

[Maple Math]

> p2:=(x-3)*(x+3);

[Maple Math]

Määritellään rationaalilauseke R polynomien p1 ja p2 osamääränä:

> R:=p1/p2;

[Maple Math]

Englanninkielisten nimien perusteella murtolausekkeen osoittajaa merkitään komennolla numer ja nimittäjää komennolla denom :

> numer(R);

[Maple Math]

> denom(R);

[Maple Math]

Nyt murtolauseketta voidaan muokata haluttuun muotoon tunnettujen komentojen avulla:

> expand(numer(R))/factor(denom(R));

[Maple Math]

> expand(numer(R))/expand(denom(R));

[Maple Math]

> factor(numer(R))/expand(denom(R));

[Maple Math]

> factor(numer(R))/factor(denom(R));

[Maple Math]

> restart:

Termien järjestely

> restart:

Määritellään lauseke p4:

> p4:=2*x^2*y^2-3*x^3*y*cos(x)+y^4*x+x*y;

[Maple Math]

Lauseke voidaan järjestää halutun termin mukaiseen järjestykseen komennolla sort :

> sort(p4,x);

[Maple Math]

> sort(p4,y);

[Maple Math]

> sort(p4,cos(x));

[Maple Math]

Komennolla sort voidaan manipuloida myös murtolauseketta:

> f3:=(x-y)/(y^2-x);

[Maple Math]

> sort(f3,x);

[Maple Math]

> sort(f3,y);

[Maple Math]

> restart:

Osamurtohajotelma

> restart:

Määritellään murtolauseke f4:

> f4:=(5*x^2-4*x+8)/(x^3-2*x^2+4*x-3);

[Maple Math]

Maplella voidaan muodostaa osamurtohajotelma murtolausekkeesta, jonka tekijöillä on rationaalikertoimiset nollakohdat. Tällöin osamurtohajotelma muodostetaan käyttämällä komentoa convert sekä lisämäärettä parfrac .

> convert(f4,parfrac,x);

[Maple Math]

> restart:

Esitysmuodon muuttaminen

> restart:

Funktion esitysmuotoa voidaan muuttaa komennolla convert . Muutetaan hyperbolinen kosini eksponenttifunktiomuotoon ja takaisin:

> emuoto:=convert(cosh(x),exp);

[Maple Math]

> convert(emuoto,trig);

[Maple Math]

Sievennetään vielä jälkimmäinen muoto tuloksen tarkistamiseksi. % -merkki viittaa edelliseen tulokseen.

> simplify(%);

[Maple Math]

Muodostetaan sinin sarjakehitelmä, jossa on kahdeksan ensimmäistä termiä. Komennolla convert sekä lisämääreellä polynom sarjakehitelmästä voidaan muodostaa siniä approksimoiva polynomi, johon kuuluu haluttu määrä sarjan termejä:

> t:=series(sin(x),x=0,9);

[Maple Math]

> t8:=convert(t,polynom);

[Maple Math]

> restart:

Kerrointen poimiminen

> restart:

Määritellään neljännen asteen polynomi p3:

> p3:=x^4+8*x^3+24*x^2+32*x+16;

[Maple Math]

Polynomista voidaan poimia yksittäisiä muuttujien kertoimia komennolla coeff :

> coeff(p3,x^3);

[Maple Math]

Komento coeffs luettelee polynomin muuttujien kertoimet muuttujan eksponentin mukaisessa järjestyksessä pienimmästä esiintyvästä eksponentista suurimpaan.

> coeffs(p3);

[Maple Math]

Jokin polynomin muuttujan yksittäinen kerroin, sekä myös vakio, voidaan poimia komennolla coeffs johon liitetään ko. termin järjestysluku hakasuluissa

> coeffs(p3)[1];

[Maple Math]

> coeffs(p3)[3];

[Maple Math]

Komento op puolestaan luettelee polynomin termit:

> op(p3);

[Maple Math]

Termien lukumäärä saadaan komennolla nops :

> nops(p3);

[Maple Math]

Maplessa voidaan muodostaa lista komennolla seq . Sitä hyödyntämällä voidaan poimia haluttujen tai vaikka kaikkien muuttujia sisältävien termien kertoimet:

> seq(coeff(p3,x^i),i=1..2);

[Maple Math]

> seq(coeff(p3,x^i),i=1..4);

[Maple Math]

Maplessa vektori muodostetaan komennolla vector . Kerrointen poimimista voidaan siten hyödyntää, jos vaikkapa halutaan määritellä vektori, jonka komponentteina ovat x: n eri potenssien kertoimet:

> k:=vector([seq(coeff(p3,x^i),i=1..4)]);

[Maple Math]

Vakiotermin voi poimia myös sijoittamalla lausekkeen muuttujalle arvo nolla komennolla subs , jolloin ainoastaan vakiotermi jää nollasta eroavaksi:

> subs(x=0,p3);

[Maple Math]

Summataan polynomin p3 muuttujaa x sisältävät termit apumuuttujaan m pienen for -silmukan avulla, ja vähennetään ne sitten polynomista p3. Tällöin jäljelle jää vakio-osa:

> m:=0:

> for i from 1 to 4 do

> m:=m+(coeff(p3,x^i)*x^i):

> od;

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

> vakio:=p3-m;

[Maple Math]

Määritellään lausekkeet f1 ja f2:

> f1:=a*cos(x)*x-3*y*x+2*sqrt(12)*x*y^2;

[Maple Math]

> f2:=exp(x)-3*log(x)*exp(x)+c;

[Maple Math]

Lauseke voidaan saattaa tulomuotoon haluttujen termien suhteen komennolla collect . Komennossa on mainittava lausekkeen nimi ja termi, jonka suhteen se saatetaan tulomuotoon:

> collect(f1,x);

[Maple Math]

> collect(f1,y);

[Maple Math]

> collect(f2,exp(x));

[Maple Math]

> restart:

Alkeisfunktiot

Itseisarvofunktio

> restart:

Itseisarvofunktiota merkitään komennolla abs :

> abs(x^2-5);

[Maple Math]

> abs(-3/4);

[Maple Math]

Kompleksiluvulle itseisarvo on yhtä kuin luvun normi:

> abs(4-3*I);

[Maple Math]

> abs(sqrt(3)*I*u^4*v);

[Maple Math]

Jälkimmäistä itseisarvolauseketta voidaan manipuloida expand ja combine -komennoilla. Määritelmässä parametrit u ja v oletetaan reaalisiksi.

> expand(%);

[Maple Math]

> combine(%,abs);

[Maple Math]

> restart:

Neliöjuuri

> restart:

Neliöjuurifunktiota merkitään komennolla sqrt :

> sqrt(x^2+1);

[Maple Math]

Neliöjuuri, samoin kuin muutkin juurilausekkeet, voidaan ilmaista myös murtopotenssina:

> (x^2+1)^(1/2);

[Maple Math]

> (x^2-1)^(1/3);

[Maple Math]

> restart:

Potenssifunktio

> restart:

Potenssifunktio kirjoitetaan muodossa kantaluku, ^ ja eksponentti.

> 2^x;

[Maple Math]

> 3^(x^2-3*x+1);

[Maple Math]

> restart:

Eksponenttifunktio

> restart:

Eksponenttifunktiossa Neprin lukua e merkitään funktiolla exp :

> exp(3*x^2-cos(2*x));

[Maple Math]

Hyperboliset funktiot voidaan muuntaa eksponenttifunktiomuotoonsa komennolla convert :

> convert(cosh(x),exp);

[Maple Math]

> convert(sinh(x),exp);

[Maple Math]

> restart:

Trigonometriset funktiot

> restart:

Trigonometrisille funktioille käytetään normaaleja merkintöjä sin , cos ja tan . Komennolla evalf saadaan lausekkeen numeerinen likiarvo.

> evalf(sin(30));

[Maple Math]

> cos(2*x+1);

[Maple Math]

> tan(5*x^2-3*x+2);

[Maple Math]

> restart:

Arcusfunktiot (trigonometristen käänteisfunktiot)

> restart:

Trigonometristen funktioiden käänteisfunktioille eli arcusfunktioille käytetään normaaleja merkintöjä arcsin , arccos ja arctan :

> arcsin(1/sqrt(2));

[Maple Math]

> arccos(1/sqrt(2));

[Maple Math]

> arctan(sqrt(5-2*sqrt(5)));

[Maple Math]

> arccos(x^2-exp(x^3-1));

[Maple Math]

> restart:

Logaritmifunktiot

> restart:

Logaritmissa kantaluku merkitään hakasulkeisiin ennen lauseketta, josta logaritmi otetaan. Oletusarvoisesti Maple muuntaa syötteen luonnolliseksi logaritmiksi:

> log[3](2*x^2);

[Maple Math]

Kymmenkantaista logaritmia merkitään log10 . Se täytyy kuitenkin ensin määritellä lataamalla käyttöön pakkaus log10:

> readlib(log10):

> log10(1000);

[Maple Math]

Maple muuntaa syötteen nytkin oletusarvoisesti luonnolliseksi logaritmiksi. Evaluointisääntöjen vuoksi ohjelma ei kuitenkaan laske lauseketta heti sievimpään muotoon, vaan jättää sen luonnollisiksi logaritmeiksi. Sievin muoto lausekkeesta saadaan sievennyskomennolla simplify . Edeltävää lauseketta ei tarvitse kirjoittaa kokonaan uudelleen, vaan siihen voi viitata suoraan % -merkillä. (Versioissa Maple V 5.0 ja sitä uudemmissa on käytössä prosenttimerkki, vanhemmissa lainausmerkki "):

> simplify(%);

[Maple Math]

Mikäli logaritmille ei merkitä erikseen kantalukua, Maple ymmärtää sen oletusarvoisesti luonnolliseksi logaritmiksi. Luonnollisesta logaritmista voidaan myös käyttää merkintää ln :

> log(x^2-sin(4*x));

[Maple Math]

> ln(x^2-sin(4*x));

[Maple Math]

> restart:

Hyperboliset funktiot

> restart:

Hyperbolisia funktioita merkitään normaaliin tapaan sinh , cosh , tanh :

> sinh(x);

[Maple Math]

> cosh(x^2+1);

[Maple Math]

> sinh(log(5));

[Maple Math]

Hyperboliset funktiot voidaan muuntaa eksponenttifunktiomuotoonsa komennolla convert :

> convert(cosh(x),exp);

[Maple Math]

> convert(sinh(x),exp);

[Maple Math]

> restart:

Areafunktiot (hyperbolisten käänteisfunktiot)

> restart:

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot eli areafunktiot merkitään Maplen syntaksissa etuliitteellä arc (vrt. arcusfunktiot):

> arcsinh(x);

[Maple Math]

> arccosh(1.3+3.4*I);

[Maple Math]

> restart: