Ellipsi (Cabri)

Ellipsin piirtäminen määritelmään perustuen

Ellipsin muodostavat ne pisteet, joilla kahdesta kiinteästä pisteestä — polttopisteistä — laskettujen etäisyyksien summa on vakio. Vakion arvoksi merkitään yleensä $2a$ . Jos ellipsin keskipiste $K$ on origossa ja polttopisteiksi valitaan $F1 = (- c,0)$ ja $F2 = (c,0)$ , ellipsin yhtälö on

2 2 x--+ y--= 1, a2 b2

missä $b2 = a2 - c2$ .

Ellipsi voidaan piirtää asettamalla polttopisteet $F1$ ja $F2$ keskipisteinä kaksi ympyrää, joiden säteiden summa on $2a$ . Ympyröiden leikkauspisteet ovat ellipsin pisteitä. Kaikki ellipsin pisteet saadaan varioimalla ympyröiden säteitä siten, että niiden summa pysyy vakiona.

Applet created on 04.07.2005 by SKK with CabriJava

Oheinen kuvio on laadittu Cabri-Geometria-ohjelmalla. Cabri-dokumentissa voidaan ympyröiden säteitä muuttaa siirtämällä hiirellä alareunassa olevan janan keskellä sijaitsevaa säätöpistettä $C$ . Tällöin säteiden summa säilyy vakiona $2a$ (= janan pituus), mutta säteiden pituudet muuttuvat. Ympyröiden leikkauspisteet $P 1$ ja $P 2$ piirtävät tällöin ellipsin ylemmän ja alemman kaaren ja $|F1P1 |+ |F2P1 |= |F1P2 |+ |F2P2 |= 2a$ . Kaaret saadaan näkyviin asettamalla Cabrin trace-toiminto päälle.

Piste $B$ on säätöpiste, jota siirtämällä voidaan muuttaa ellipsin eksentrisyyttä, ts. polttopisteiden $F1$ ja $F2$ etäisyyttä keskipisteestä $K$ . Itse asiassa $B$ on ellipsin pikku akselin päätepiste.

Harjoitustehtäviä

Piirrä ellipsejä Cabri-dokumentin avulla. Tutki erityisesti polttopisteiden sijainnin vaikutusta. Millä alueella alareunan janan keskimmäistä pistettä on siirrettävä, jotta saadaan koko ellipsi? Miten tämä alue riippuu polttopisteiden sijainnista?

Linkkejä

Vastaava Cabri-dokumentti
Cabri-ohjeet

Simo K. Kivelä 10.02.2004