Ellipsi (Cabri)

Ellipsin muodostaminen tangenttien avulla

Käyrä on yleensä tapana hahmotella konstruoimalla sen pisteitä riittävän tiheästi. Vaihtoehtoisesti voidaan konstruoida käyrän tangentteja riittävän tiheästi, jolloin käyrä hahmottuu tangenttisuorien verhokäyränä.

Ellipsin tangentit voidaan muodostaa seuraavasti:

Olkoon annettuna ympyrä ja sen eräällä halkaisijalla sijaitsevat pisteet $F1$ ja $F2$ . Näiden tulee olla yhtä etäällä ympyrän keskipisteestä $K$ . Asetetaan pisteiden $F1$ ja $F2$ kautta samansuuntaiset säteet; nämä leikatkoot ympyrän kehän pisteissä $P1$ ja $P2$ . Jana $P1P2$ on ympyrän jänne.

Kun säteiden suuntaa muutetaan ja toistetaan uutta suuntaa vastaavasti janan $P1P2$ konstruktio, saadaan parvi ympyrän jänteitä. Nämä rajaavat alueen, joka näyttää ellipsiltä ja joka sitä todella onkin. Jänteet sijaitsevat ellipsin tangenttisuorilla. Pisteet $F 1$ ja $F 2$ ovat ellipsin polttopisteet, ellipsin ison akselin pituus on sama kuin ympyrän halkaisija.

Applet created on 3.1.2005 by SKK with CabriJava

Yllä oleva kuvio on laadittu Cabri-Geometria-ohjelmalla. Cabri-dokumentissa jänteet voidaan konstruoida asettamalla trace-toiminto päälle janan $P1P2$ suhteen ja siirtämällä pistettä $P1$ ympyrää pitkin. Vaihtoehtoisesti voidaan aktivoida locus-toiminto ja muodostaa janan $P1P2$ ura (locus) pisteen $P1$ liikkuessa. Jälkimmäisellä menettelyllä saatu tulos on alla:

Harjoitustehtäviä

Osoita, että konstruoidut jänteet todella ovat ellipsin tangentteja. Jokaisella jänteellä sijaitsee piste, joka on kyseessä olevan tangentin ja ellipsin sivuamispiste. Miten tämä voidaan konstruoida?

Linkkejä

Vastaava Cabri-dokumentti
Cabri-ohjeet

Simo K. Kivelä 31.03.2004