Ellipsin kaarevuusympyrät

Minkä tahansa käyrän kaartumista jossakin sen pisteessä voidaan mitata muodostamalla pisteen kautta kulkeva ympyräviiva, jonka kaartuminen on yhtä voimakasta kuin käyrän kaartuminen kyseisessä pisteessä. Ympyrää kutsutaan käyrän kaarevuusympyräksi ja ympyrän sädettä käyrän kaarevuussäteeksi kyseisessä pisteessä. Kaarevuus on kaarevuussäteen käänteisarvo. Kaarevuus on siis sitä suurempi, mitä jyrkemmin käyrä kaartuu.

Edellä sanottu ei luonnollisestikaan ole kaarevuusympyrän määrittely: ’yhtä voimakas kaartuminen’ vaatii täsmällisen määrittelyn. Tämä voidaan tehdä differentiaalilaskennan keinoin, mutta tässä yhteydessä siihen ei lähemmin paneuduta.

Usein käyrän kulku voidaan hahmotella, jos sen kaarevuusympyrät riittävän monissa pisteissä tunnetaan. Ellipsin tapauksessa riittää melko hyvin tuntea akseleiden päätepisteisiin liittyvät ympyrät. Nämä saadaan yksinkertaisella geometrisella konstruktiolla:

Applet created on 3.1.2005 by SKK with CabriJava

Piirretään ellipsiä ympäröivä suorakulmio ABCD , jonka sivut ovat ellipsin pääakseleiden suuntaiset ja pituudeltaan siis 2a ja 2b . Suorakulmiolle piirretään jompikumpi lävistäjä, esimerkiksi AC ja tälle normaalit kahden muun kärkipisteen, tällöin B ja D , kautta. Pisteen B kautta kulkeva normaali leikkaa ellipsin ison akselin pisteessä C1 ja pikku akselin jatkeen pisteessä C2 . Nämä ovat ison akselin toiseen päätepisteeseen ja pikku akselin toiseen päätepisteeseen liittyvien kaarevuusympyröiden keskipisteet. Kaarevuusympyrät voidaan siis piirtää.

Vastakkaisiin päätepisteisiin liittyvät symmetriset kaarevuusympyrät saadaan vastaavasti pisteen D kautta kulkevan normaalin avulla.

Jos ellipsin akselit tunnetaan, voidaan kaarevuusympyrät konstruoida. Itse ellipsin voi tällöin likimääräisesti hahmotella vapaalla kädellä, kuten kuvion oikean ylänurkan osasta ilmenee: Punainen ellipsinkaari liittyy kummankin akselin päätepisteen lähellä piirustustarkkuuden rajoissa varsin tarkoin vastaavaan kaarevuusympyrään ja siirtyy ympyrältä toiselle melko lyhyellä matkalla.

Oheinen kuvio on laadittu Cabri-Geometria-ohjelmalla. Cabri-dokumentissa ellipsin kokoa ja muotoa voidaan muuttaa tarttumalla hiirellä K -keskisiin ympyröihin ja kasvattamalla tai pienentämällä näiden säteitä. Muu konstruktio muuttuu tällöin vastaavasti.

Harjoitustehtäviä

Piirrä ellipsejä kuvatulla menetelmällä ja arvioi tulosten hyvyyttä. Miten piirtämiseen tarkuuteen vaikuttaa ellipsin akselien suhde? Osoita esitetyn konstruktion perusteella, että kaarevuusympyröiden säteet ovat a2/b ja b2/a . Perehdy kaarevuussäteiden laskemiseen differentiaalilaskennan avulla ja osoita, että tällä tavoin saadaan em. arvot kaarevuussäteille, ts. että esitetty konstruktio todellakin antaa kaarevuusympyrät.

Linkkejä

Vastaava Cabri-dokumentti
Cabri-ohjeet

Simo K. Kivelä 07.04.2004