Kehätiet

Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1990

Tieverkon muodostavat kehätiet x2 + y2 = r2, (r = 1, 2, 3 km), sekä kahdeksan origosta O lähtevää säteittäistä tietä, yksi kuhunkin pää- ja väli-ilmansuuntaan. Määritä lyhin reitti uloimman kehätien pisteestä P , joka on pohjoisen ja koillisen säteen puolivälissä, pitkin tieverkkoa pisteeseen Q, joka on läntisellä säteellä kahden sisemmän kehän puolivälissä. Mikä on tämän reitin pituus?

Ratkaisu

PICT
Kuvion merkinnöillä mielekkäitä reittejä ovat mm. seuraavat:

P --> A --> B --> C --> D --> E --> Q :2.p.3- 16 + 2 + 2.p.1 4 + 1 2 ~~ 5.25 km
P --> A --> B --> F --> G --> Q : 2.p.3- 16 + 1 + 2.p.2 4 + 1 2 ~~ 5.82 km
P --> A --> B --> C --> O --> E --> Q :2.p.3- 16 + 3 + 3 2 ~~ 5.68 km
P --> A --> B --> F --> D --> E --> Q :2.p.3 -16- + 1 + 2.p.2 --8- + 1 + 2.p.1 -4-- + 1 2 ~~ 6.82 km
P --> A --> H --> I --> G --> Q : 2.p1.36- + 2.p4.3- + 32 ~~ 7.39 km

Näistä lyhin reitti on selvästikin ensimmäinen.

Piilota ratkaisu