Ekvivalenssirelaatio

Kahden joukon A₁ ja A₂ karteesinen tulo A₁ × A₂ on kaikkien sellaisten järjestettyjen parien (a₁,a₂) joukko, missä a₁ A₁ ja a₂ A₂; toisin sanoen

Karteesisesta tulosta A × A käytetään myös merkintää A².

Karteesisen tulon A × A jokainen osajoukko R määrittää relaation joukossa A: jos pari (a,b) R sanotaan, että alkio a on relaatiossa R alkion b kanssa. Relaatiota merkitään lyhyesti a R b.

Esimerkki. Reaalilukujen joukossa mitkä tahansa kaksi lukua x ja y toteuttavat ainakin toisen relaatioista x < y tai x > y.

Määritelmä. Joukon A relaatiota R sanotaan joukon A ekvivalenssirelaatioksi, jos se täyttää seuraavat ehdot:

     E1.   refleksiivisyys: a A : a R a
     E2.   symmetrisyys: jos a,b A ja a R b, niin b R a
     E3.   transitiivisuus: jos a,b,c A, a R b ja b R c, niin a R c.

Ekvivalenssirelaatiosta käytetään merkintää ~ . Jos a ~ b, sanotaan, että a on ekvivalentti alkion b kanssa. Symmetrian nojalla voidaan sanoa myös, että alkiot a ja b ovat ekvivalentit.

Esimerkki. Kaikissa joukoissa on triviaali ekvivalenssirelaatio yhtäsuuruus = .

Linkit:
Ekvivalenssiluokka