EkvivalenssiluokkaMääritelmä. Olkoon ~ joukon A ekvivalenssirelaatio. Kunkin alkion a ![]() Alkiota a sanotaan ekvivalenssiluokan [a] edustajaksi.
Jokainen ekvivalenssiluokka muodostuu keskenään ekvivalenteista alkioista, toisin sanoen alkiot
a ja b kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan jos ja vain jos a ~ b. Nimittäin, jos
a ~ b niin a Lause. Jos ~ on joukon A ekvivalenssirelaatio, niin A voidaan esittää erillisten ekvivalenssiluokkien unionina: ![]() missä D on joukon A osajoukko, joka sisältää yhden alkion jokaisesta ekvivalenssiluokasta. Joukkoa D sanotaan ekvivalenssiluokkien edustajistoksi.
Todistus. Edellä esitetyn perusteella on selvää, että joukko A voidaan esittää ekvivalenssiluokkien
unionina. Vielä pitää osoittaa, että jos a ja a' eivät ole ekvivalentteja, niin ekvivalenssiluokien
[a] ja [a'] leikkaus on tyhjä joukko. Tehdään vastaoletus, että leikkaus [a] Jos joukko A on erillisten epätyhjien osajoukkojensa unioni, sanotaan, että nämä osajoukot muodostavat joukon A partition (eli osituksen). Tällöin edellinen lause voidaan muotoilla seuraavasti: Jos joukossa A on määritelty ekvivalenssirelaation, niin ekvivalenssiluokat muodostavat joukon A partition. Kaikkien ekvivalenssiluokkien joukkoa sanotaan joukon A osamäärä- tai tekijäjoukoksi. Sitä merkitään symbolilla A/ ~; siis ![]()
Linkit:
|