Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		RYHMÄ
 

Esimerkkejä ryhmistä 2

Esimerkki.(VEKTORIRYHMÄT) Vektoriavaruuden (V, +, . ) vektorit muodostavat additiivisen Abelin ryhmän. Tämän ryhmän neutraalialkio on nollavektori h ja vektorin X käänteisalkio on vastavektori -X. Tällaisen ryhmän muodostaa esimerkiksi Rn = {(a 1,...,an) | ai (- R, 1 < i < n}.

Esimerkki.(MATRIISIRYHMÄT) Reaalilukualkioisten (m × n)-matriisien joukko Mm×n(R) muodostaa additiivisen Abelin ryhmän matriisien yhteenlaskun suhteen. Ryhmän neutraalialkiona on nollamatriisi ja matriisin A käänteisalkiona on -A. (Tämä ryhmä kuuluu itse asiassa jo edellisen esimerkin piiriin.)

Säännöllisten (n × n)-matriisien joukko

GLn(R) = {A (- Mn(R) |det(A) /= 0}

muodostaa multiplikatiivisen ryhmän matriisitulon suhteen. Ryhmän neutraalialkio on identiteettimatriisi In ja matriisin A käänteisalkio on käänteismatriisi A-1. Kun n > 1, ryhmä (GLn(R), . ) on esimerkki ryhmästä, joka ei ole Abelin ryhmä.

Esimerkki.(JÄÄNNÖSLUOKKARYHMÄT) Jäännösluokat modulo m muodostavat Abelin ryhmän (Zm, +), kun yhteenlasku määritellään seuraavasti -- a + - b = ----- a + b. Ryhmän neutraalialkio on jäännösluokka -- 0 ja jäännösluokan -- a käänteisalkio on jäännösluokka --- - a. Ryhmä (Zm, +) on esimerkki äärellisestä ryhmästä, sillä #Zm = m.

Jäännösluokkaa -- a modulo m sanotaan alkuluokaksi, jos syt(a,m) = 1. Tämä käsite on hyvin määritelty, sillä

jos syt(a,m) = 1 ja a-= a', niin syt(a',m) = 1.

Todistetaan tämä. Koska -- a = -- a', niin a = a' + mk jollekin kokonaisluvulle k. Koska syt(a,m) = 1, on olemassa sellaiset luvut u ja v, että 1 = ua + vm. Yhdistämällä nämä saadaan 1 = ua + vm = u(a' + mk) + vm = ua' + (uk + v)m. Koska luku 1 voidaan esittää lukujen a' ja m monikertojen summana, on syt(a',m) = 1.

Kaikkien alkuluokkien modulo m joukko

-- Z*m = { a (- Zm |syt(a,m) = 1}

muodostaa ryhmän jäännösluokkien kertolaskun -- a . - b = ---- a .b suhteen. Ryhmän neutraalialkio on jäännösluokka -- 1. Alkuluokan -- a käänteisalkio on se jäännösluokka, joka toteuttaa kongruenssin

ax =_ 1 (mod m),

silloinhan - a .  -- x = ----- a .x = -- 1. Kuten Diofantoksen yhtälöiden kohdalla todetaan, tällä kongruenssilla on yksikäsitteinen ratkaisu x välillä 0 < x < m - 1.

Esimerkiksi Z* 9 = {-- 1,-- 2,-- 4,-- 5,-- 7,-- 8}.

Linkit:
Ryhmä
Vektoriavaruus
Matriisi
Yksinkertaisia matriiseja
Säännöllinen matriisi
Jäännösluokka
Suurin yhteinen tekijä
Diofantoksen yhtälö