Ihanne

Ryhmäteoriassa normaaleilla aliryhmillä on erityisasema. Rengasteoriassa normaaleja aliryhmiä vastaavat ihanteet.

Määritelmä. Olkoon (R, +, ^. ) rengas. Joukkoa I R sanotaan renkaan R ihanteeksi tai ideaaliksi, jos

     (I1)   (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä ja
     (I2)   ra I ja ar I kaikilla r R ja a I.

(Jos ehdosta (I2) jätetään pois ehto ar I, saadaan yleisempi vasemman ihanteen käsite. Vastaavasti oikea ihanne saadaan jättämällä ehdosta (I2) pois ehto ra I.)

Jokaisen renkaan (R, +, ^. ) triviaalit ihanteet ovat rengas itse ja nollaihanne {0 _R}.

Jos renkaan (R, +, ^. ) ihanne I muodostaa alirenkaan operaatioiden + ja  ^.  suhteen, niin alirengaskriteerin nojalla 1_R I. Tästä seuraa ehdon (I2) nojalla, että r = r ^. 1 _R I kaikilla r R. Täten rengas itse on sen ainoa ihanne, joka on myös (ali)rengas.

Edellisen päättelyn nojalla saadaan seuraava tulos: Jos I on renkaan R aito ihanne (siis I R), niin IR^* = Ø (R^* on renkaan yksiköiden joukko). Nimittäin, jos renkaan yksikkö u I, niin ehdon (I2) nojalla u ^. u^-1 = 1 _R I, ja silloin olisi I = R.

Lause. (Ihannekriteeri) Olkoon (R, +, ^. ) rengas ja I R. Joukko I on renkaan R ihanne jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat:

     (a)   I on epätyhjä joukko,
     (b)   a - b I kaikilla a,b I ja
     (c)   ra I ja ar I kaikilla r R ja a I.

Todistus. Ehdot (a) ja (b) ovat yhdessä ekvivalentit ehdon (I1) kanssa. Ehto (c) on sama kuin ehto (I2).

Lause. Jos joukot I ja J ovat renkaan (R, +, ^. ) ihanteita, niin samoin on niiden leikkaus I J ja summa

Sama on voimassa useammankin kuin kahden ihanteen tapauksessa (leikkauksen suhteen jopa äärettömän monen ihanteen leikkaus on ihanne).

Todistus. Todistetaan summaa koskeva väite. Leikkausta koskeva väite voidaan todistaa samantapaisella päättelyllä. Koska I ja J ovat ihanteina epätyhjiä joukkoja, on niiden summakin epätyhjä.

Olkoot a₁ , a₂ I, b₁,b₂ J ja c_i = a_i + b_i I + J (i = 1, 2). Käyttäen hyväksi sivulla Renkaan aritmetiikkaa esiteltyjä laskulakeja ja ryhmän (R, +) kommutatiivisuutta saadaan: c₁ - c₂ = a₁ + b₁ - (a₂ + b₂) = a₁ + b₁ - a₂ - b₂ = a₁ - a₂ + b₁ - b₂ I + J. Kaikilla r R on rc₁ = r(a₁ + b₁) = ra₁ + rb₁ I + J. Väite seuraa ihannekriteeristä.

Linkit:
Aliryhmä
Normaali aliryhmä
Alirengas
Renkaan aritmetiikkaa
Rengas